Как можно вычислить производную функции у = (х-5)(х+5)^4 в точке x = -4?

Математика 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции математика 11 класс точка x = -4 функция у = (х-5)(х+5)^4 Новый

Чтобы вычислить производную функции y = (x - 5)(x + 5)^4 в точке x = -4, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции y.

Для нахождения производной функции, которая является произведением двух функций, мы будем использовать правило произведения. Если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения вычисляется по формуле:

(u * v)' = u' * v + u * v'

В нашем случае:

• u(x) = (x - 5)
• v(x) = (x + 5)^4

Теперь найдем производные u' и v'.

Шаг 2: Найдем u' и v'.

• u'(x) = 1 (производная от x - 5 равна 1)
• v'(x) = 4(x + 5)^3 (используем правило степени для производной от (x + 5)^4)

Шаг 3: Применим правило произведения.

Теперь можем подставить найденные производные в формулу:

y' = u' * v + u * v'

Подставляем значения:

y' = 1 * (x + 5)^4 + (x - 5) * 4(x + 5)^3

Упрощаем это выражение:

y' = (x + 5)^4 + 4(x - 5)(x + 5)^3

Шаг 4: Найдем y' в точке x = -4.

Теперь подставим x = -4 в полученное выражение для производной:

y'(-4) = (-4 + 5)^4 + 4(-4 - 5)(-4 + 5)^3

Считаем каждую часть:

• (-4 + 5) = 1, следовательно, 1^4 = 1
• (-4 - 5) = -9, (-4 + 5) = 1, следовательно, 4 * (-9) * 1^3 = -36

Шаг 5: Сложим результаты.

Теперь складываем полученные значения:

y'(-4) = 1 - 36 = -35

Ответ:

Производная функции y = (x - 5)(x + 5)^4 в точке x = -4 равна -35.