Как можно вычислить производную функции y, которая задана формулой y=(x*(cos*ln*x+sin*ln*x))/2?

Математика 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции математика 11 класс формула производной тригонометрические функции логарифмические функции правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции y, заданной формулой y = (x * (cos(ln(x)) + sin(ln(x)))) / 2, мы будем использовать правило производной произведения и цепное правило. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Определим компоненты функции:
   • u = x
   • v = (cos(ln(x)) + sin(ln(x))) / 2
2. Найдем производную u:
   • Производная u = d(u)/dx = 1
3. Теперь найдем производную v:
   • v = (1/2) * (cos(ln(x)) + sin(ln(x)))
   • Для нахождения производной v, воспользуемся правилом производной суммы и цепным правилом.
4. Найдем производные cos(ln(x)) и sin(ln(x)):
   • Производная cos(ln(x)) = -sin(ln(x)) * (1/x)
   • Производная sin(ln(x)) = cos(ln(x)) * (1/x)
5. Теперь найдем производную v:
   • d(v)/dx = (1/2) * (d(cos(ln(x)))/dx + d(sin(ln(x)))/dx)
   • Теперь подставим найденные производные:
   • d(v)/dx = (1/2) * (-sin(ln(x)) * (1/x) + cos(ln(x)) * (1/x))
   • Упрощаем: d(v)/dx = (1/2) * (1/x) * (cos(ln(x)) - sin(ln(x)))
6. Теперь можем использовать правило производной произведения:
   • d(y)/dx = u * d(v)/dx + v * d(u)/dx
   • Подставляем найденные значения:
   • d(y)/dx = x * (1/2) * (1/x) * (cos(ln(x)) - sin(ln(x))) + (cos(ln(x)) + sin(ln(x))) / 2 * 1
7. Упрощаем выражение:
   • d(y)/dx = (1/2) * (cos(ln(x)) - sin(ln(x))) + (cos(ln(x)) + sin(ln(x))) / 2
   • Теперь объединяем оба члена:
   • d(y)/dx = (1/2) * (cos(ln(x)) - sin(ln(x)) + cos(ln(x)) + sin(ln(x)))
   • Таким образом, d(y)/dx = cos(ln(x))

Итак, окончательный ответ: производная функции y по x равна cos(ln(x)).