Чтобы найти производную данной функции, нужно рассмотреть каждую часть отдельно. Функция состоит из нескольких слагаемых, и мы будем применять правила дифференцирования к каждому из них.

Функция выглядит следующим образом:

f(x) = (x^12) / 4 - (4x^6) / 3 + 2 + x * ctg(x) + 3 * sin(4x - 5)

Теперь давайте найдем производную f'(x) по частям:

1. Производная первого слагаемого:

   f1(x) = (x^12) / 4

   Используем правило дифференцирования степени: (x^n)' = n * x^(n-1).

   f1'(x) = (12 / 4) * x^(12 - 1) = 3 * x^11.

2. Производная второго слагаемого:

   f2(x) = -(4x^6) / 3

   Применяем то же правило: f2'(x) = -(4 / 3) * (6 * x^(6 - 1)) = -8 * x^5 / 3.

3. Производная третьего слагаемого:

   f3(x) = 2

   Производная константы равна нулю: f3'(x) = 0.

4. Производная четвертого слагаемого:

   f4(x) = x * ctg(x)

   Здесь мы применим правило произведения: (u * v)' = u' * v + u * v'.

   Пусть u = x и v = ctg(x).

   Тогда u' = 1, а v' = -csc^2(x).

   Следовательно, f4'(x) = 1 * ctg(x) + x * (-csc^2(x)) = ctg(x) - x * csc^2(x).

5. Производная пятого слагаемого:

   f5(x) = 3 * sin(4x - 5)

   Здесь мы применим правило цепи: (g(h(x)))' = g'(h(x)) * h'(x).

   g(x) = 3 * sin(x),g'(x) = 3 * cos(x),h(x) = 4x - 5, h'(x) = 4.

   Таким образом, f5'(x) = 3 * cos(4x - 5) * 4 = 12 * cos(4x - 5).

Теперь мы можем собрать все производные вместе:

f'(x) = f1'(x) + f2'(x) + f3'(x) + f4'(x) + f5'(x)

Подставляем найденные производные:

f'(x) = 3 * x^11 - (8 * x^5) / 3 + 0 + (ctg(x) - x * csc^2(x)) + 12 * cos(4x - 5)

Таким образом, окончательная производная функции:

f'(x) = 3 * x^11 - (8 * x^5) / 3 + ctg(x) - x * csc^2(x) + 12 * cos(4x - 5.