Как можно вычислить производную следующей функции?

1. (x^12) / 4 - (4x^6) / 3 + 2
2. x * ctg x
3. 3 sin (4x-5)

Математика 11 класс Производная функции вычисление производной производная функции математика 11 класс производные примеры правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную данной функции, нужно рассмотреть каждую часть отдельно. Функция состоит из нескольких слагаемых, и мы будем применять правила дифференцирования к каждому из них.

Функция выглядит следующим образом:

f(x) = (x^12) / 4 - (4x^6) / 3 + 2 + x * ctg(x) + 3 * sin(4x - 5)

Теперь давайте найдем производную f'(x) по частям:

1. Производная первого слагаемого:

   f1(x) = (x^12) / 4

   Используем правило дифференцирования степени: (x^n)' = n * x^(n-1).

   f1'(x) = (12 / 4) * x^(12 - 1) = 3 * x^11.

2. Производная второго слагаемого:

   f2(x) = -(4x^6) / 3

   Применяем то же правило: f2'(x) = -(4 / 3) * (6 * x^(6 - 1)) = -8 * x^5 / 3.

3. Производная третьего слагаемого:

   f3(x) = 2

   Производная константы равна нулю: f3'(x) = 0.

4. Производная четвертого слагаемого:

   f4(x) = x * ctg(x)

   Здесь мы применим правило произведения: (u * v)' = u' * v + u * v'.

   Пусть u = x и v = ctg(x).

   Тогда u' = 1, а v' = -csc^2(x).

   Следовательно, f4'(x) = 1 * ctg(x) + x * (-csc^2(x)) = ctg(x) - x * csc^2(x).

5. Производная пятого слагаемого:

   f5(x) = 3 * sin(4x - 5)

   Здесь мы применим правило цепи: (g(h(x)))' = g'(h(x)) * h'(x).

   g(x) = 3 * sin(x), g'(x) = 3 * cos(x), h(x) = 4x - 5, h'(x) = 4.

   Таким образом, f5'(x) = 3 * cos(4x - 5) * 4 = 12 * cos(4x - 5).

Теперь мы можем собрать все производные вместе:

f'(x) = f1'(x) + f2'(x) + f3'(x) + f4'(x) + f5'(x)

Подставляем найденные производные:

f'(x) = 3 * x^11 - (8 * x^5) / 3 + 0 + (ctg(x) - x * csc^2(x)) + 12 * cos(4x - 5)

Таким образом, окончательная производная функции:

f'(x) = 3 * x^11 - (8 * x^5) / 3 + ctg(x) - x * csc^2(x) + 12 * cos(4x - 5.