Как найти интеграл Г 4 x(1+4lnx)² dx, используя замену и =1+4lnx?

Математика 11 класс Интегралы интеграл замена переменной математика 11 класс интегрирование Г 4 x(1+4lnx)² методы интегрирования Новый

Чтобы найти интеграл Г 4x(1 + 4lnx)² dx, мы воспользуемся заменой переменной. В данном случае мы сделаем замену:

Шаг 1: Заменяем переменную

Пусть y = 1 + 4lnx. Тогда нам нужно выразить dx через dy. Для этого найдем производную:

• Сначала найдем производную y по x:
• dy/dx = 4/x.
• Таким образом, dx = (x/4) dy.

Теперь нам нужно выразить x через y. Из уравнения y = 1 + 4lnx мы можем выразить lnx:

• lnx = (y - 1)/4,
• Следовательно, x = e^((y - 1)/4).

Шаг 2: Подставляем в интеграл

Теперь подставим x и dx в наш интеграл:

• 4x(1 + 4lnx)² = 4(e^((y - 1)/4))(y²),
• dx = (e^((y - 1)/4)/4) dy.

Теперь можем записать интеграл:

• Г 4x(1 + 4lnx)² dx = Г 4(e^((y - 1)/4))(y²) * (e^((y - 1)/4)/4) dy.

Упрощаем выражение:

• Г (e^((y - 1)/4) * y²) dy.

Шаг 3: Интегрируем

Теперь интегрируем полученное выражение. Интеграл будет иметь вид:

• Г (e^((y - 1)/4) * y²) dy.

Для интегрирования этого выражения можно использовать метод интегрирования по частям или табличные интегралы.

Шаг 4: Возвращаемся к переменной x

После нахождения интеграла в переменной y, не забудьте подставить обратно y = 1 + 4lnx, чтобы получить окончательный ответ в терминах x.

Таким образом, мы получили шаги для нахождения интеграла с помощью замены переменной. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам или по интегрированию, не стесняйтесь спрашивать!