Как найти наименьший корень уравнения sin2z + cos2z = √2sin3z, который принадлежит интервалу (0; 90°)? Пожалуйста, помогите!

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения наименьший корень уравнение sin2z cos2z √2sin3z интервал 0 90° математика 11 класс решение уравнения Новый

Для решения уравнения sin2z + cos2z = √2sin3z начнем с упрощения и преобразования обеих сторон уравнения. Давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества

• Мы знаем, что sin2z = 2sinzcosz и cos2z = cos²z - sin²z. Однако, проще будет воспользоваться другим тождеством: sin²z + cos²z = 1.
• Таким образом, sin2z + cos2z = 1 для любого угла z.

Шаг 2: Подставляем в уравнение

Теперь подставим это в уравнение:

1 = √2sin3z

Шаг 3: Изолируем sin3z

Чтобы найти sin3z, делим обе стороны на √2:

sin3z = 1/√2

Шаг 4: Находим аргументы

Зная, что sin(45°) = 1/√2, мы можем записать:

• 3z = 45° + 360°k, где k — целое число
• или 3z = 135° + 360°k

Шаг 5: Находим z

Разделим обе стороны на 3:

• z = 15° + 120°k
• или z = 45° + 120°k

Шаг 6: Подбор корней в интервале (0; 90°)

Теперь подберем целые значения k, чтобы найти z в интервале (0; 90°):

• Для k = 0: z = 15° (приемлемо)
• Для k = 1: z = 135° (не подходит, так как больше 90°)
• Для k = 0: z = 45° (приемлемо)

Шаг 7: Выбираем наименьший корень

Таким образом, мы нашли два корня: 15° и 45°. Наименьший корень уравнения в интервале (0; 90°) — это:

z = 15°

Итак, наименьший корень уравнения sin2z + cos2z = √2sin3z, который принадлежит интервалу (0; 90°), равен 15°.