Чтобы найти предел функции lim (x → -2) (x^2 + x - 2)/(x^3 + 8), мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем это по порядку.

1. Подставим значение x = -2 в функцию:

Сначала подставим -2 в числитель и знаменатель:

• Числитель: (-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0
• Знаменатель: (-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0

Мы получили неопределенность 0/0, поэтому нужно продолжить решение.

2. Упростим дробь:

Для этого сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

• Числитель: x^2 + x - 2 можно разложить как (x - 1)(x + 2).
• Знаменатель: x^3 + 8 можно разложить по формуле суммы кубов: x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4).
3. Запишем дробь с найденными множителями:

Теперь у нас есть:

(x - 1)(x + 2) / [(x + 2)(x^2 - 2x + 4)]

4. Сократим дробь:

Мы можем сократить (x + 2) в числителе и знаменателе, так как x не равен -2 в пределе:

(x - 1) / (x^2 - 2x + 4)

5. Теперь подставим x = -2 снова:

Теперь мы можем подставить -2 в упрощенную дробь:

• Числитель: -2 - 1 = -3
• Знаменатель: (-2)^2 - 2*(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
6. Вычислим предел:

Теперь мы имеем:

lim (x → -2) (x - 1) / (x^2 - 2x + 4) = -3 / 12 = -1/4.

Ответ: Предел функции lim (x → -2) (x^2 + x - 2)/(x^3 + 8) равен -1/4.