Как найти предел: lim(х->-2) (х^3 + 3х^2 + 2х) / (х^2 - х - 6)?

Математика 11 класс Пределы функций предел lim х->-2 математика 11 класс дробная функция нахождение предела алгебра математический анализ Новый

Чтобы найти предел lim(х->-2) (х^3 + 3х^2 + 2х) / (х^2 - х - 6), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Подставим значение х = -2 в числитель и знаменатель.

Сначала подставим -2 в числитель:

• числитель: (-2)^3 + 3*(-2)^2 + 2*(-2) = -8 + 12 - 4 = 0

Теперь подставим -2 в знаменатель:

• знаменатель: (-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0

Таким образом, мы получаем 0/0, что является неопределённой формой. Поэтому нам нужно упростить дробь.

Шаг 2: Упростим дробь.

Для этого сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

Рассмотрим выражение х^3 + 3х^2 + 2х. Мы можем вынести общий множитель х:

• х(х^2 + 3х + 2)

Теперь раскроем квадратный трёхчлен:

• х(х + 1)(х + 2)

Знаменатель:

Теперь разложим знаменатель х^2 - х - 6:

• (х - 3)(х + 2)

Шаг 3: Подставим разложенные множители в дробь.

Теперь мы можем переписать нашу дробь следующим образом:

• (х(х + 1)(х + 2)) / ((х - 3)(х + 2))

Шаг 4: Сократим дробь.

Мы видим, что (х + 2) есть в числителе и знаменателе, и можем сократить их:

• х(х + 1) / (х - 3)

Шаг 5: Найдем предел.

Теперь подставим х = -2 в упрощённое выражение:

• числитель: -2 * (-2 + 1) = -2 * (-1) = 2
• знаменатель: -2 - 3 = -5

Теперь можем найти предел:

• lim(х->-2) (х(х + 1)) / (х - 3) = 2 / -5 = -2/5

Ответ: Предел lim(х->-2) (х^3 + 3х^2 + 2х) / (х^2 - х - 6) равен -2/5.