Чтобы найти предел выражения lim (x² - 2x - 12) / (x² + 5x + 6) при x, стремящемся к -3, следуем следующим шагам:

1. Подставим значение -3 в выражение. Начнем с подстановки x = -3 в числитель и знаменатель:
• Числитель: (-3)² - 2*(-3) - 12 = 9 + 6 - 12 = 3.
• Знаменатель: (-3)² + 5*(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0.
2. Анализируем результат подстановки. Мы получили 3 в числителе и 0 в знаменателе. Это указывает на то, что предел может быть неопределен, так как мы делим на ноль.
3. Факторизуем числитель и знаменатель. Чтобы упростить выражение, попробуем разложить его на множители:
• Числитель: x² - 2x - 12 = (x - 6)(x + 2).
• Знаменатель: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
4. Записываем предел с разложенными множителями. Мы можем переписать предел следующим образом:
• lim (x - 6)(x + 2) / ((x + 2)(x + 3)).
5. Сокращаем общие множители. Мы видим, что (x + 2) является общим множителем в числителе и знаменателе:
• После сокращения получаем: lim (x - 6) / (x + 3), при x ≠ -2.
6. Теперь подставляем x = -3 в упрощенное выражение.
• lim (x - 6) / (x + 3) = (-3 - 6) / (-3 + 3) = -9 / 0.
7. Анализируем результат. Мы снова получаем деление на ноль, что указывает на вертикальную асимптоту. Теперь нужно проанализировать, как ведет себя выражение при приближении к -3 с разных сторон:
• При x, стремящемся к -3 слева (например, x = -3.1), значение (x + 3) будет отрицательным, следовательно, предел будет стремиться к +∞.
• При x, стремящемся к -3 справа (например, x = -2.9), значение (x + 3) будет положительным, следовательно, предел будет стремиться к -∞.
8. Вывод. Мы получили, что предел с одной стороны стремится к +∞, а с другой стороны к -∞. Это означает, что предел не существует.

Таким образом, ответ на вопрос: предел lim (x² - 2x - 12) / (x² + 5x + 6) при x, стремящемся к -3, не существует.