Как найти производную функции f(x) = 3x^3 + 8, используя её определение?

Математика 11 класс Производная функции производная функции определение производной f(x) = 3x^3 + 8 вычисление производной правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = 3x^3 + 8, используя её определение, мы будем следовать определению производной через предел. Производная функции в точке x определяется как:

f'(x) = lim (h -> 0) [(f(x + h) - f(x)) / h]

Теперь давайте пройдемся по шагам:

1. Вычислим f(x + h):

Заменим x в функции f(x) на (x + h):

f(x + h) = 3(x + h)^3 + 8

Теперь раскроем скобки:

(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3

Таким образом,:

f(x + h) = 3(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 8 = 3x^3 + 9x^2h + 9xh^2 + 3h^3 + 8

2. Вычислим f(x + h) - f(x):

Теперь вычтем f(x) из f(x + h):

f(x + h) - f(x) = (3x^3 + 9x^2h + 9xh^2 + 3h^3 + 8) - (3x^3 + 8)

Это упрощается до:

f(x + h) - f(x) = 9x^2h + 9xh^2 + 3h^3

3. Теперь подставим в формулу для производной:

Подставим результат в определение производной:

f'(x) = lim (h -> 0) [(9x^2h + 9xh^2 + 3h^3) / h]

4. Упростим дробь:

Мы можем сократить h в числителе и знаменателе (при h ≠ 0):

f'(x) = lim (h -> 0) [9x^2 + 9xh + 3h^2]

5. Теперь найдем предел при h, стремящемся к 0:

Когда h стремится к 0, выражение 9xh и 3h^2 стремится к 0:

f'(x) = 9x^2 + 0 + 0 = 9x^2

Таким образом, производная функции f(x) = 3x^3 + 8 равна:

f'(x) = 9x^2