Как найти производную функции f(x) = Ln(cos^2 x)?

Математика 11 класс Дифференцирование функций производная функции f(x) = Ln(cos^2 x) нахождение производной Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = Ln(cos^2 x), мы будем использовать правила дифференцирования, в частности, правило производной сложной функции и правило производной логарифма.

Шаги решения:

1. Запишем функцию: f(x) = Ln(cos^2 x).
2. Используем правило производной логарифма: Если u(x) - это функция, то производная Ln(u) равна u' / u. В нашем случае u = cos^2 x.
3. Найдем производную u: Для этого используем правило производной степени и правило производной косинуса:
   • u = cos^2 x.
   • Применяем правило производной степени: (a^n)' = n * a^(n-1) * a'. Здесь a = cos x и n = 2.
   • Сначала находим производную cos x, которая равна -sin x.
   • Теперь применим правило: u' = 2 * cos x * (-sin x) = -2 * cos x * sin x.
4. Теперь подставим все в формулу для производной логарифма:
   • f'(x) = u' / u = (-2 * cos x * sin x) / (cos^2 x).
5. Упростим выражение:
   • f'(x) = -2 * sin x / cos x = -2 * tan x.

Таким образом, производная функции f(x) = Ln(cos^2 x) равна f'(x) = -2 * tan x.