Как найти производную функции f(x)=x^2*(x+2), используя следующие правила: 1) Найти область определения и выяснить, является ли функция непрерывной. 2) Найти производную y`(x). 3) Решить уравнение y`(x)=0. 4) Построить диаграмму производной y`(x). 5) Определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции?

Математика 11 класс Дифференцирование функций производная функции область определения непрерывность функции нахождение производной уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

Давайте с энтузиазмом разберем, как найти производную функции f(x) = x^2 * (x + 2) и проанализируем её! Готовы? Поехали!

1) Область определения и непрерывность:

Функция f(x) = x^2 * (x + 2) является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Таким образом, область определения:

• Область определения: x ∈ R (все действительные числа).

Многочлены непрерывны на всей области определения, следовательно, функция f(x) также непрерывна.

2) Нахождение производной y`(x):

Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения:

• y = u * v, где u = x^2 и v = (x + 2).
• y` = u` * v + u * v`.

Теперь найдем производные:

• u` = 2x
• v` = 1

Теперь подставим в формулу:

• y`(x) = (2x) * (x + 2) + (x^2) * (1) = 2x^2 + 4x + x^2 = 3x^2 + 4x.

3) Решение уравнения y`(x) = 0:

Теперь решим уравнение:

• 3x^2 + 4x = 0.
• x(3x + 4) = 0.

Это уравнение имеет два корня:

• x = 0
• 3x + 4 = 0 => x = -4/3.

4) Построение диаграммы производной y`(x):

Теперь мы можем построить диаграмму функции y`(x) = 3x^2 + 4x. Она представляет собой параболу, открывающуюся вверх, с корнями в x = 0 и x = -4/3. Мы можем определить, где производная положительна и отрицательна:

• Для x < -4/3, y`(x) < 0 (функция убывает).
• Для -4/3 < x < 0, y`(x) > 0 (функция возрастает).
• Для x > 0, y`(x) > 0 (функция возрастает).

5) Определение монотонности функции:

Теперь, зная, где производная положительна или отрицательна, мы можем определить монотонность функции f(x):

• Функция убывает на интервале (-∞, -4/3).
• Функция возрастает на интервалах (-4/3, 0) и (0, +∞).

Итак, мы успешно нашли производную и проанализировали монотонность функции f(x)! Это было увлекательно! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!