Как найти производную функции f(x)=x^3+3x^2+3x+2, используя следующие шаги: 1) определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной; 2) найти производную y`(x); 3) решить уравнение y`(x)=0; 4) построить диаграмму производной y`(x); 5) определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции?

Математика 11 класс Дифференцирование функций производная функции область определения непрерывность функции нахождение производной уравнение производной диаграмма производной монотонность функции признаки возрастания признаки убывания Новый

Давайте разберем все шаги по порядку, чтобы найти производную функции f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 и проанализировать ее.

1) Определить область определения и выяснить, является ли функция непрерывной

Функция f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 — это многочлен. Многочлены определены для всех значений x, поэтому область определения функции:

• Область определения: R (все действительные числа).

Многочлены также являются непрерывными функциями на всей своей области определения, следовательно:

• Функция f(x) непрерывна на R.

2) Найти производную y`(x)

Чтобы найти производную функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования многочленов. Производная многочлена ax^n равна n * ax^(n-1). Применяя это правило к каждому члену функции:

• Производная от x^3: 3x^2
• Производная от 3x^2: 2 * 3x^(2-1) = 6x
• Производная от 3x: 3
• Производная от 2: 0

Собирая все вместе, получаем:

• y`(x) = 3x^2 + 6x + 3.

3) Решить уравнение y`(x) = 0

Теперь мы решим уравнение 3x^2 + 6x + 3 = 0. Для этого можно сначала упростить уравнение, разделив все коэффициенты на 3:

• x^2 + 2x + 1 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу корней:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 1, b = 2, c = 1.

Вычисляем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0.

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один двойной корень:

• x = -2 / 2 = -1.

4) Построить диаграмму производной y`(x)

Теперь мы можем построить диаграмму производной. Для этого определим знаки производной y`(x) в интервалах:

• Выберем точки для проверки знака производной:
• Точка -2 (меньше -1): y`(-2) = 3*(-2)^2 + 6*(-2) + 3 = 12 - 12 + 3 = 3 (положительное)
• Точка 0 (больше -1): y`(0) = 3*0^2 + 6*0 + 3 = 3 (положительное)

Таким образом, производная y`(x) > 0 на интервалах (-∞, -1) и (-1, +∞) и равна 0 в точке x = -1. Это значит, что график производной выглядит следующим образом:

• y`(x) > 0 для x < -1 и x > -1.
• y`(x) = 0 для x = -1.

5) Определить монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции

Теперь, основываясь на знаках производной, мы можем определить монотонность функции f(x):

• На интервале (-∞, -1) функция f(x) возрастает (поскольку y`(x) > 0).
• В точке x = -1 функция достигает максимума (поскольку производная равна 0).
• На интервале (-1, +∞) функция f(x) также возрастает (поскольку y`(x) > 0).

Таким образом, функция f(x) возрастает на всей своей области определения, кроме точки x = -1, где она имеет локальный максимум.

В результате, мы нашли производную, определили ее знаки и проанализировали монотонность функции. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!