Давайте разберем все шаги по порядку, чтобы найти производную функции f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 и проанализировать ее.

Функция f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2 — это многочлен. Многочлены определены для всех значений x, поэтому область определения функции:

• Область определения: R (все действительные числа).

Многочлены также являются непрерывными функциями на всей своей области определения, следовательно:

• Функция f(x) непрерывна на R.

Чтобы найти производную функции, мы воспользуемся правилом дифференцирования многочленов. Производная многочлена ax^n равна n * ax^(n-1). Применяя это правило к каждому члену функции:

• Производная от x^3: 3x^2
• Производная от 3x^2: 2 * 3x^(2-1) = 6x
• Производная от 3x: 3
• Производная от 2: 0

Собирая все вместе, получаем:

• y`(x) = 3x^2 + 6x + 3.

Теперь мы решим уравнение 3x^2 + 6x + 3 = 0. Для этого можно сначала упростить уравнение, разделив все коэффициенты на 3:

• x^2 + 2x + 1 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу корней:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),где a = 1, b = 2, c = 1.

Вычисляем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0.

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один двойной корень:

• x = -2 / 2 = -1.

Теперь мы можем построить диаграмму производной. Для этого определим знаки производной y`(x) в интервалах:

• Выберем точки для проверки знака производной:
• Точка -2 (меньше -1): y`(-2) = 3*(-2)^2 + 6*(-2) + 3 = 12 - 12 + 3 = 3 (положительное)
• Точка 0 (больше -1): y`(0) = 3*0^2 + 6*0 + 3 = 3 (положительное)

Таким образом, производная y`(x) > 0 на интервалах (-∞, -1) и (-1, +∞) и равна 0 в точке x = -1. Это значит, что график производной выглядит следующим образом:

• y`(x) > 0 для x < -1 и x > -1.
• y`(x) = 0 для x = -1.

Теперь, основываясь на знаках производной, мы можем определить монотонность функции f(x):

• На интервале (-∞, -1) функция f(x) возрастает (поскольку y`(x) > 0).
• В точке x = -1 функция достигает максимума (поскольку производная равна 0).
• На интервале (-1, +∞) функция f(x) также возрастает (поскольку y`(x) > 0).

Таким образом, функция f(x) возрастает на всей своей области определения, кроме точки x = -1, где она имеет локальный максимум.

В результате, мы нашли производную, определили ее знаки и проанализировали монотонность функции. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!