Как найти производную функции F(x)= sqrt(x)+1/sqrt(x) в точке x=1?

Математика 11 класс Производная функции производная функции f(x) sqrt(x) 1/sqrt(x) точка x=1 математика нахождение производной Новый

Чтобы найти производную функции F(x) = sqrt(x) + 1/sqrt(x) в точке x = 1, необходимо выполнить несколько шагов. В данном ответе мы подробно рассмотрим процесс нахождения производной, а также подставим значение x = 1 для нахождения конкретного значения производной в этой точке.

Шаг 1: Найти производную функции F(x)

Функция F(x) состоит из двух частей: sqrt(x) и 1/sqrt(x). Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования.

• Производная sqrt(x): Используем правило производной корня. Производная функции sqrt(x) равна 1/(2*sqrt(x)).
• Производная 1/sqrt(x): Можно переписать эту функцию как x^(-1/2). Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем производную: -1/2 * x^(-3/2) = -1/(2*sqrt(x)^3).

Теперь можем записать полную производную функции F(x):

F'(x) = 1/(2*sqrt(x)) - 1/(2*sqrt(x)^3).

Шаг 2: Упростить производную

Для упрощения производной F'(x) можно привести к общему знаменателю:

• Общий знаменатель для двух дробей: 2*sqrt(x)^3.
• Переписываем дроби с общим знаменателем:

F'(x) = (sqrt(x)^2 - 1) / (2*sqrt(x)^3) = (x - 1) / (2*sqrt(x)^3).

Шаг 3: Подставить x = 1

Теперь, когда мы нашли производную F'(x), подставим x = 1:

F'(1) = (1 - 1) / (2*sqrt(1)^3) = 0 / (2*1) = 0.

Заключение:

Таким образом, производная функции F(x) = sqrt(x) + 1/sqrt(x) в точке x = 1 равна 0. Это означает, что в данной точке функция имеет горизонтальную касательную, и, следовательно, в этой точке нет изменения значения функции.