Как найти производную функции, используя ее определение:

y= -4,5x^3 + 2x+8

Математика 11 класс Производная функции производная функции определение производной нахождение производной математика производная производная y=-4,5x^3 производная многочлена правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции y = -4,5x^3 + 2x + 8, мы можем использовать определение производной. Производная функции в точке x определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Определение производной можно записать так:

f'(x) = lim (h -> 0) [(f(x + h) - f(x)) / h]

Теперь давайте применим это определение к нашей функции:

1. Найдем f(x + h):

f(x) = -4,5x^3 + 2x + 8

f(x + h) = -4,5(x + h)^3 + 2(x + h) + 8

Теперь раскроем скобки:

• (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3

Следовательно:

f(x + h) = -4,5(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2(x + h) + 8

Раскроем скобки:

f(x + h) = -4,5x^3 - 13,5x^2h - 13,5xh^2 - 4,5h^3 + 2x + 2h + 8

2. Теперь найдем f(x + h) - f(x):

f(x + h) - f(x) = (-4,5x^3 - 13,5x^2h - 13,5xh^2 - 4,5h^3 + 2x + 2h + 8) - (-4,5x^3 + 2x + 8)

Сокращаем одинаковые члены:

f(x + h) - f(x) = -13,5x^2h - 13,5xh^2 - 4,5h^3 + 2h

3. Теперь подставим в определение производной:

f'(x) = lim (h -> 0) [(-13,5x^2h - 13,5xh^2 - 4,5h^3 + 2h) / h]

Упростим дробь, разделив все члены на h:

f'(x) = lim (h -> 0) [-13,5x^2 - 13,5xh - 4,5h^2 + 2]

4. Теперь находим предел при h -> 0:

Когда h стремится к 0, члены, содержащие h, исчезают:

f'(x) = -13,5x^2 + 2

Таким образом, производная функции y = -4,5x^3 + 2x + 8 равна:

f'(x) = -13,5x^2 + 2