Конечно, я помогу вам найти производную функции y = sin(4x)cos(4x) в точке x0 = π/3. Давайте разберем шаги по порядку.

Для нахождения производной произведения двух функций, мы будем использовать правило произведения. Если у нас есть две функции u(x) и v(x),то производная их произведения y = u(x)v(x) вычисляется по формуле:

• y' = u'v + uv'

В нашем случае:

• u(x) = sin(4x)
• v(x) = cos(4x)

Теперь найдем производные u и v:

• u' = d(sin(4x))/dx = 4cos(4x) (по правилу цепочки)
• v' = d(cos(4x))/dx = -4sin(4x) (по правилу цепочки)

Теперь подставим u, v, u' и v' в формулу для производной:

• y' = (4cos(4x))(cos(4x)) + (sin(4x))(-4sin(4x))

Упрощаем это выражение:

• y' = 4cos^2(4x) - 4sin^2(4x)

Это можно также записать как:

• y' = 4(cos^2(4x) - sin^2(4x))

Теперь нам нужно подставить x0 = π/3 в найденную производную:

• y'(π/3) = 4(cos^2(4(π/3)) - sin^2(4(π/3)))

Сначала вычислим 4(π/3):

• 4(π/3) = 4π/3

Теперь найдем значения sin(4π/3) и cos(4π/3):

• cos(4π/3) = -1/2
• sin(4π/3) = -√3/2

Теперь подставим эти значения в производную:

• y'(π/3) = 4((-1/2)^2 - (-√3/2)^2)

Теперь вычислим:

• y'(π/3) = 4(1/4 - 3/4) = 4(-2/4) = 4(-1/2) = -2

Таким образом, производная функции y = sin(4x)cos(4x) в точке x0 = π/3 равна -2.