Как найти производные функции Y = ln(tg(2x+1)/4)?

Математика 11 класс Дифференцирование функций производные функции Y = ln(tg(2x+1)/4) математика нахождение производной тригонометрические функции Новый

Для нахождения производной функции Y = ln(tg(2x+1)/4) необходимо использовать правила дифференцирования, такие как правило производной логарифмической функции и правило производной сложной функции. Рассмотрим процесс пошагово.

Шаг 1: Применение правила производной логарифмической функции

Сначала мы применяем правило производной логарифмической функции. Если Y = ln(u), то производная Y по x равна:

• Y' = (1/u) * (du/dx)

В нашем случае u = tg(2x + 1)/4. Таким образом, мы можем записать:

• Y' = (1/(tg(2x+1)/4)) * (d(tg(2x+1)/4)/dx)

Шаг 2: Упрощение выражения

Упрощаем выражение для производной:

• Y' = (4/tg(2x + 1)) * (d(tg(2x + 1))/dx)

Шаг 3: Нахождение производной тангенса

Теперь нам необходимо найти производную функции tg(2x + 1). Для этого используем правило производной тангенса:

• (d(tg(u))/dx) = (sec^2(u)) * (du/dx), где u = 2x + 1

Следовательно:

• du/dx = 2
• (d(tg(2x + 1))/dx) = sec^2(2x + 1) * 2

Шаг 4: Подстановка производной тангенса в выражение для Y'

Теперь подставим найденную производную tg(2x + 1) в уравнение для Y':

• Y' = (4/tg(2x + 1)) * (2 * sec^2(2x + 1))

Шаг 5: Упрощение окончательного результата

Таким образом, окончательная форма производной будет выглядеть следующим образом:

• Y' = (8 * sec^2(2x + 1)) / tg(2x + 1)

Таким образом, мы нашли производную функции Y = ln(tg(2x + 1)/4). Этот процесс включает в себя использование правил дифференцирования для логарифмических и тригонометрических функций, а также применение цепного правила для сложных функций.