Как найти решение интеграла (4x+7)sinx/8dx?

Математика 11 класс Интегралы решение интеграла интеграл (4x+7)sinx/8dx математика 11 класс Новый

Чтобы найти решение интеграла (4x + 7)sin(x)/8 dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования.

В нашем случае, давайте выберем:

• u = (4x + 7)/8 (это упрощает интеграл, так как мы делим на 8);
• dv = sin(x) dx.

Теперь найдем du и v:

• du = (4/8) dx = (1/2) dx;
• v = -cos(x) (интеграл от sin(x) равен -cos(x)).

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫ (4x + 7)sin(x)/8 dx = uv - ∫ v du

Подставляем значения:

∫ (4x + 7)sin(x)/8 dx = ((4x + 7)/8)(-cos(x)) - ∫ (-cos(x))(1/2) dx

Теперь упростим это выражение:

∫ (4x + 7)sin(x)/8 dx = -((4x + 7)cos(x))/8 + (1/2)∫ cos(x) dx

Интеграл от cos(x) равен sin(x), поэтому:

∫ (4x + 7)sin(x)/8 dx = -((4x + 7)cos(x))/8 + (1/2)sin(x) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательное решение интеграла:

∫ (4x + 7)sin(x)/8 dx = -((4x + 7)cos(x))/8 + (1/2)sin(x) + C

1 2 3 4 5