Как найти решение тригонометрического уравнения 6cos^2x - 13sin x - 13 = 0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение тригонометрического уравнения тригонометрия 11 класс cos^2x sin x уравнение 6cos^2x - 13sin x - 13 = 0 Новый

Чтобы решить тригонометрическое уравнение 6cos²x - 13sin x - 13 = 0, нам необходимо преобразовать его в более удобную форму. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: Мы знаем, что cos²x = 1 - sin²x. Подставим это в уравнение:
2. Подстановка:
• 6(1 - sin²x) - 13sin x - 13 = 0
3. Раскроем скобки:
• 6 - 6sin²x - 13sin x - 13 = 0
4. Упрощаем уравнение:
• -6sin²x - 13sin x - 7 = 0
• Умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
• 6sin²x + 13sin x + 7 = 0
5. Решаем квадратное уравнение: Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a = 6, b = 13, c = 7.
6. Находим дискриминант:
• D = b² - 4ac = 13² - 4 * 6 * 7
• D = 169 - 168 = 1
7. Находим корни уравнения: Используем формулу корней квадратного уравнения:
• sin x = (-b ± √D) / (2a)
• sin x = (-13 ± 1) / (12)
8. Находим два корня:
• sin x = (-13 + 1) / 12 = -12 / 12 = -1
• sin x = (-13 - 1) / 12 = -14 / 12 = -7/6 (не имеет смысла, так как синус не может быть больше 1 или меньше -1)
9. Решаем уравнение sin x = -1:
• Синус равен -1 при x = 3π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение тригонометрического уравнения 6cos²x - 13sin x - 13 = 0:

x = 3π/2 + 2kπ, где k ∈ Z.