Как найти решение тригонометрического уравнения: sin(2x) = √(sin(3x) + sin(x)³)?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения sin(2x) sin(3x) sin(x)³ математика 11 класс методы решения уравнений Новый

Чтобы решить тригонометрическое уравнение sin(2x) = √(sin(3x) + sin(x)³), давайте следовать пошагово.

1. Преобразуем уравнение: Сначала квадратируем обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня. Это даст нам:
• sin²(2x) = sin(3x) + sin³(x)
2. Используем тригонометрические идентичности: Напомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x). Подставим эти выражения в уравнение:
• (2sin(x)cos(x))² = (3sin(x) - 4sin³(x)) + sin³(x)
3. Упростим уравнение: Раскроем скобки и упростим:
• 4sin²(x)cos²(x) = 3sin(x) - 3sin³(x)
4. Заменим cos²(x): Мы знаем, что cos²(x) = 1 - sin²(x). Подставим это в уравнение:
• 4sin²(x)(1 - sin²(x)) = 3sin(x) - 3sin³(x)
5. Раскроем скобки: Упростим уравнение:
• 4sin²(x) - 4sin^4(x) = 3sin(x) - 3sin³(x)
6. Переносим все в одну сторону: Получим уравнение:
• 4sin^4(x) - 3sin³(x) + 4sin²(x) - 3sin(x) = 0
7. Факторизуем уравнение: Это уравнение можно попытаться факторизовать, например, вынеся общий множитель sin(x):
• sin(x)(4sin³(x) - 3sin²(x) + 4sin(x) - 3) = 0
8. Находим корни: У нас есть два множителя:
• Первый множитель: sin(x) = 0. Это дает решения x = kπ, где k - целое число.
• Второй множитель: 4sin³(x) - 3sin²(x) + 4sin(x) - 3 = 0. Это кубическое уравнение, которое можно решить различными методами, например, подбирая значения или используя численные методы.
9. Решаем кубическое уравнение: Для этого уравнения можно попробовать подставить несколько значений sin(x) (например, 1, -1, 0.5 и т.д.), чтобы найти корни. После нахождения корней, мы можем использовать обратные функции для нахождения значений x.
10. Проверяем найденные корни: Важно подставить найденные значения обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями.

Таким образом, мы получаем множество решений для данного тригонометрического уравнения. Не забудьте также учитывать периодичность тригонометрических функций при нахождении всех возможных решений.