Как найти решение уравнения 2 cos^2 x = 1 - sin x?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения 2 cos^2 x 1 - sin x математика 11 класс тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения 2 cos^2 x = 1 - sin x начнем с преобразования его в более удобный вид, используя тригонометрические тождества.

Мы знаем, что cos^2 x = 1 - sin^2 x (это следует из основного тригонометрического тождества). Подставим это в наше уравнение:

1. 2(1 - sin^2 x) = 1 - sin x

Раскроем скобки:

1. 2 - 2sin^2 x = 1 - sin x

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

1. 2 - 1 - 2sin^2 x + sin x = 0
2. 2sin^2 x - sin x - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим y = sin x. Уравнение примет вид:

1. 2y^2 - y - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

1. y1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (1 ± 3) / 4.

Это дает нам два корня:

1. y1 = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1,
2. y2 = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5.

Теперь вернемся к переменной sin x:

1. sin x = 1,
2. sin x = -0.5.

Теперь найдем значения x для каждого из случаев.

1. Для sin x = 1:

• Это происходит при x = π/2 + 2kπ, где k – целое число.

2. Для sin x = -0.5:

• Это происходит при x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k – целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 2 cos^2 x = 1 - sin x можно записать как:

• x = π/2 + 2kπ,
• x = 7π/6 + 2kπ,
• x = 11π/6 + 2kπ,

Где k – любое целое число.