Как найти решение уравнения 2 sin x sin 3x = cos 4x?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения 2 sin x sin 3x cos 4x тригонометрические функции математический анализ уравнения нахождение корней синус косинус Новый

Чтобы решить уравнение 2 sin x sin 3x = cos 4x, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и преобразованиями. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Используем тождество для произведения синусов. Мы знаем, что 2 sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B). В нашем случае A = x и B = 3x.
2. Применяем тождество:
   • 2 sin x sin 3x = cos(x - 3x) - cos(x + 3x) = cos(-2x) - cos(4x).
   • Так как cos(-2x) = cos(2x), у нас получается: cos(2x) - cos(4x).
3. Теперь подставим это обратно в уравнение:
   • cos(2x) - cos(4x) = cos(4x).
   • Переносим cos(4x) в левую часть: cos(2x) - 2cos(4x) = 0.
4. Решаем уравнение:
   • cos(2x) = 2cos(4x).
   • Теперь мы можем выразить cos(4x) через cos(2x): cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x) (по формуле двойного угла).
5. Подставляем это обратно:
   • cos(2x) = 2(cos^2(2x) - sin^2(2x)).
   • Сокращаем и упрощаем это уравнение. Это может привести к квадратному уравнению относительно cos(2x).
6. Решаем полученное квадратное уравнение: После нахождения корней мы можем найти значения 2x, а затем x.
7. Не забываем про периодичность тригонометрических функций: После нахождения всех возможных значений x, учитываем, что тригонометрические функции периодичны, и добавляем k*π (где k - любое целое число) для получения всех решений.
8. Проверяем найденные решения: Подставляем найденные значения обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями.

Таким образом, процесс решения уравнения включает в себя использование тригонометрических тождеств, преобразование уравнения, решение квадратного уравнения и учет периодичности тригонометрических функций.