Как найти решение уравнения: 2sin^2x + 3cosx = 0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения 2sin^2x 3cosx тригонометрические уравнения математика 11 класс нахождение корней уравнения

Давайте вместе разберемся, как решить уравнение 2sin^2x + 3cosx = 0! Это увлекательное путешествие в мир тригонометрии, и я уверен, что мы справимся с этой задачей!

Первым шагом будет использование тригонометрической идентичности. Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Это значит, что мы можем выразить sin^2x через cosx:

• sin^2x = 1 - cos^2x

Теперь подставим это в наше уравнение:

2(1 - cos^2x) + 3cosx = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:

• 2 - 2cos^2x + 3cosx = 0
• -2cos^2x + 3cosx + 2 = 0

Теперь давайте умножим всё на -1, чтобы избавиться от минуса:

• 2cos^2x - 3cosx - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cosx! Давайте решим его с помощью дискриминанта:

• a = 2
• b = -3
• c = -2

Теперь найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

Так как D > 0, у нас есть два различных корня. Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней:

• cosx1 = (3 + √25) / (2 * 2) = (3 + 5) / 4 = 2
• cosx2 = (3 - √25) / (2 * 2) = (3 - 5) / 4 = -0.5

Теперь мы знаем, что cosx1 = 2 (что невозможно, так как косинус не может быть больше 1) и cosx2 = -0.5.

Теперь найдем x для cosx = -0.5:

• x = 120° + 360°n
• x = 240° + 360°n

Где n – любое целое число. Итак, у нас есть два решения!

Вот и всё! Мы нашли решение уравнения! Надеюсь, вам было интересно и познавательно! Вперёд к новым вершинам в изучении математики!

Чтобы решить уравнение 2sin^2x + 3cosx = 0, давайте сначала вспомним, что существует связь между синусом и косинусом. Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Это позволяет выразить sin^2x через cos^2x: sin^2x = 1 - cos^2x.

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

1. Заменим sin^2x в уравнении:
2. 2(1 - cos^2x) + 3cosx = 0.

Теперь раскроем скобки:

1. 2 - 2cos^2x + 3cosx = 0.

Перепишем уравнение в стандартной форме:

1. -2cos^2x + 3cosx + 2 = 0.

Для удобства умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

1. 2cos^2x - 3cosx - 2 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно cosx. Мы можем решить его с помощью формулы для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где:

• a = 2,
• b = -3,
• c = -2.

Теперь находим дискриминант:

1. D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

1. cosx1 = (3 + sqrt(25)) / (2 * 2) = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2.
2. cosx2 = (3 - sqrt(25)) / (2 * 2) = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5.

Теперь рассмотрим полученные значения:

• Первый корень cosx1 = 2 недопустим, так как косинус не может быть больше 1.
• Второй корень cosx2 = -0.5 допустим.

Теперь найдем углы, для которых cosx = -0.5. Это происходит в следующих quadrants:

• x = 120° + k * 360° (или 2π/3 + 2πk) для k ∈ Z,
• x = 240° + k * 360° (или 4π/3 + 2πk) для k ∈ Z.

Таким образом, общее решение уравнения 2sin^2x + 3cosx = 0 будет:

• x = 2π/3 + 2πk,
• x = 4π/3 + 2πk,

где k - любое целое число.