Как найти решение уравнения: 3tg^2 x + tg x - 2 = 0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения 3tg^2 x tg x математические уравнения Тригонометрия уравнения с тангенсом методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 3tg²x + tgx - 2 = 0, начнем с замены переменной. Обозначим tgx как t. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

3t² + t - 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы его решить, воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашем случае:

• a = 3
• b = 1
• c = -2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25

Теперь находим корни:

t1 = (-1 + √25) / (2 * 3) = (-1 + 5) / 6 = 4 / 6 = 2/3

t2 = (-1 - √25) / (2 * 3) = (-1 - 5) / 6 = -6 / 6 = -1

Теперь у нас есть два значения для t:

• t1 = 2/3
• t2 = -1

Теперь вернемся к нашей замене и найдем значения x:

1. Для t1 = 2/3:

tgx = 2/3

Решим это уравнение:

x = arctg(2/3) + kπ, где k - любое целое число.

2. Для t2 = -1:

tgx = -1

Решим это уравнение:

x = arctg(-1) + kπ = -π/4 + kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, обобщенное решение нашего уравнения:

• x = arctg(2/3) + kπ, k ∈ Z
• x = -π/4 + kπ, k ∈ Z

Это и есть все решения уравнения 3tg²x + tgx - 2 = 0.