Как найти решение уравнения sin x + 2cos x = 2?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sin x cos x тригонометрические функции математика 11 класс уравнения с синусом и косинусом Новый

Чтобы найти решение уравнения sin x + 2cos x = 2, начнем с анализа самого уравнения.

1. Обратим внимание на то, что значения функций синуса и косинуса ограничены. А именно:

• -1 ≤ sin x ≤ 1
• -1 ≤ cos x ≤ 1

2. Рассмотрим максимальное значение левой части уравнения:

• Максимальное значение sin x равно 1.
• Максимальное значение 2cos x равно 2, когда cos x = 1.

Таким образом, максимальное значение sin x + 2cos x будет:

• 1 + 2 = 3

3. Теперь найдем, при каких условиях левая часть уравнения может равняться 2:

• Поскольку sin x не может превышать 1, то 2cos x должно быть как минимум 1, чтобы сумма была равна 2.
• Следовательно, 2cos x ≥ 1 или cos x ≥ 0.5.

4. Теперь найдем значения x, при которых cos x = 0.5. Это происходит в следующих случаях:

• x = 60° + 360°k, где k - любое целое число.
• x = 300° + 360°k, где k - любое целое число.

5. Теперь проверим, удовлетворяет ли sin x + 2cos x = 2 эти значения:

• Для x = 60°: sin 60° + 2cos 60° = (√3/2) + 2(1/2) = (√3/2) + 1, что не равно 2.
• Для x = 300°: sin 300° + 2cos 300° = (-√3/2) + 2(1/2) = (-√3/2) + 1, что также не равно 2.

6. Таким образом, уравнение sin x + 2cos x = 2 не имеет решений, так как максимальное значение левой части уравнения не достигает 2.

В итоге, ответ: уравнение не имеет решений.