Как найти угол AMO в правильной пирамиде MABCD, если площадь основания Sabcd равна 9, а объем V составляет (3 корня из 6) /2?

Математика 11 класс Геометрия. Правильные пирамиды угол AMO правильная пирамида площадь основания объём пирамиды математика 11 класс Новый

Чтобы найти угол AMO в правильной пирамиде MABCD, нам нужно использовать некоторые свойства пирамиды и формулы для расчета объема и площади. Давайте разберем шаги решения данного задания.

1. Определим параметры пирамиды:
   • Площадь основания S_abcd = 9.
   • Объем V = (3√6) / 2.
2. Найдем высоту пирамиды:
   • Формула объема пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.
   • Подставим известные значения: (3√6) / 2 = (1/3) * 9 * h.
   • Упростим уравнение: (3√6) / 2 = 3h.
   • Теперь найдем высоту h: h = (3√6) / 2 / 3 = (√6) / 2.
3. Определим координаты точек:
   • В основании ABCD расположим точки A, B, C и D на координатной плоскости. Например, пусть A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), C(3, 3, 0), D(0, 3, 0).
   • Точка M, являющаяся вершиной пирамиды, будет находиться над центром основания. Центр основания (O) будет в точке (1.5, 1.5, 0).
   • Так как высота равна h, координаты точки M будут (1.5, 1.5, h) = (1.5, 1.5, √6/2).
4. Найдем угол AMO:
   • Вектор AM = (1.5 - 0, 1.5 - 0, √6/2 - 0) = (1.5, 1.5, √6/2).
   • Вектор AO = (1.5 - 0, 1.5 - 0, 0 - 0) = (1.5, 1.5, 0).
   • Теперь найдем косинус угла между векторами AM и AO с помощью скалярного произведения:
   • Скалярное произведение AM и AO: AM • AO = (1.5 * 1.5) + (1.5 * 1.5) + (√6/2 * 0) = 2.25 + 2.25 + 0 = 4.5.
   • Найдем длины векторов: |AM| = √((1.5)² + (1.5)² + (√6/2)²) = √(2.25 + 2.25 + 1.5) = √6.
   • |AO| = √((1.5)² + (1.5)²) = √(2.25 + 2.25) = √4.5 = 3/√2.
   • Теперь можем найти косинус угла AMO: cos(AMO) = (AM • AO) / (|AM| * |AO|) = 4.5 / (√6 * (3/√2)) = 4.5 / (3√12) = 4.5 / (6√3) = 0.25 / √3.
   • Теперь, чтобы найти угол, используем арккосинус: угол AMO = arccos(0.25 / √3).

Таким образом, угол AMO можно найти, подставив значение в арккосинус. Это позволит вам получить численное значение угла в градусах или радианах в зависимости от требований задачи.