Какова высота правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 30 см, а боковое ребро образует угол 30° с плоскостью основания? (Ответ должен включать корень)

Математика 11 класс Геометрия. Правильные пирамиды высота правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 30 см боковое ребро угол 30° плоскость основания задача по математике 11 класс геометрия решение задачи корень формулы для высоты пирамиды Новый

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, начнем с того, что в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 30 см. Для начала найдем половину длины диагонали этого квадрата.

Диагональ квадрата можно найти по формуле:

• Диагональ = сторона * √2

Следовательно, диагональ нашего квадрата равна:

• 30 * √2 см.

Теперь найдем половину этой диагонали:

• 1/2 * (30 * √2) = 15 * √2 см.

Теперь сделаем дополнительное построение: из вершины пирамиды проведем перпендикуляр к основанию. Длина этого перпендикуляра будет равна искомой высоте пирамиды. Перпендикуляр пересечет основание в точке, где пересекаются диагонали квадрата.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором:

• одна сторона - это высота пирамиды (перпендикуляр),
• вторая сторона - это половина диагонали квадрата (15 * √2 см),
• гипотенуза - это боковое ребро, которое образует угол 30° с плоскостью основания.

Для нахождения высоты мы можем использовать тригонометрические функции. В частности, мы можем воспользоваться косинусом угла 30°:

• cos(30°) = √3/2.

Согласно определению косинуса:

• cos(30°) = (длина основания) / (длина бокового ребра).

Таким образом, мы можем записать:

• √3/2 = (15 * √2) / (длина бокового ребра).

Отсюда, длина бокового ребра равна:

• длина бокового ребра = (15 * √2) * (2/√3) = 10 * √6 см.

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды:

• (длина бокового ребра)² = (высота)² + (половина диагонали)².

Подставим известные значения:

• (10 * √6)² = (высота)² + (15 * √2)².

Это упростится до:

• 600 = (высота)² + 450.

Теперь решим это уравнение:

• (высота)² = 600 - 450 = 150.

Следовательно, высота пирамиды равна:

• высота = √150 = 5 * √6 см.

Ответ: высота правильной четырехугольной пирамиды составляет 5 * √6 см.