Как найти все корни уравнения 2cos^2x=sin(3π/2+x), которые принадлежат промежутку [-7π/2; -2π]?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения корни уравнения 2cos^2x sin(3π/2+x) промежуток [-7π/2; -2π] решение уравнения тригонометрические функции Новый

Для решения уравнения 2cos^2(x) = sin(3π/2 + x) начнем с преобразования правой части уравнения.

Используем тригонометрическую идентичность для синуса:

• sin(3π/2 + x) = -cos(x)

Теперь подставим это в уравнение:

2cos^2(x) = -cos(x)

Переносим все члены в одну сторону:

2cos^2(x) + cos(x) = 0

Это уравнение можно факторизовать:

• cos(x)(2cos(x) + 1) = 0

Теперь у нас есть два случая для решения:

1. cos(x) = 0
2. 2cos(x) + 1 = 0

Решение первого случая:

cos(x) = 0. Это происходит при:

• x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Теперь найдем все такие x, которые принадлежат промежутку [-7π/2; -2π].

Подставим разные значения k:

• k = -4: x = -7π/2
• k = -3: x = -5π/2
• k = -2: x = -3π/2
• k = -1: x = -π/2

Таким образом, корни первого случая: -7π/2, -5π/2, -3π/2.

Решение второго случая:

2cos(x) + 1 = 0, отсюда:

• cos(x) = -1/2.

Это происходит при:

• x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• x = 4π/3 + 2kπ.

Теперь найдем все такие x для каждого k, которые находятся в промежутке [-7π/2; -2π]:

Для x = 2π/3 + 2kπ:

• k = -4: x = 2π/3 - 8π = -22π/3 (не подходит)
• k = -3: x = 2π/3 - 6π = -16π/3 (не подходит)
• k = -2: x = 2π/3 - 4π = -10π/3 (не подходит)
• k = -1: x = 2π/3 - 2π = -4π/3 (подходит)
• k = 0: x = 2π/3 (не подходит)

Для x = 4π/3 + 2kπ:

• k = -4: x = 4π/3 - 8π = -20π/3 (не подходит)
• k = -3: x = 4π/3 - 6π = -14π/3 (не подходит)
• k = -2: x = 4π/3 - 4π = -8π/3 (не подходит)
• k = -1: x = 4π/3 - 2π = -2π/3 (не подходит)
• k = 0: x = 4π/3 (не подходит)

Таким образом, корень второго случая: -4π/3.

Итак, все корни уравнения в заданном промежутке:

• -7π/2
• -5π/2
• -3π/2
• -4π/3