Как найти все значения а, при которых уравнение 2х^3 - 4х^2 - 8x + а = 0 имеет два различных корня?

Математика 11 класс Уравнения и системы уравнений уравнение значения а два корня математика кубическое уравнение нахождение корней условия для корней анализ уравнения Новый

Чтобы найти все значения параметра а, при которых уравнение 2x^3 - 4x^2 - 8x + a = 0 имеет два различных корня, нам нужно рассмотреть следующее:

1. Первым шагом мы заметим, что это кубическое уравнение. Кубическое уравнение может иметь 1 или 3 корня в зависимости от его дискриминанта.
2. Для того чтобы у уравнения было два различных корня, один из корней должен быть двойным (то есть иметь кратность 2), а другой - простым (кратность 1).
3. Таким образом, нам нужно найти условия, при которых уравнение имеет кратный корень. Для этого мы можем использовать производную.

Теперь найдем первую производную данного уравнения:

f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 8x + a

f'(x) = 6x^2 - 8x - 8

Теперь мы должны найти корни производной, так как они укажут на точки, где функция f(x) может иметь кратные корни. Решим уравнение:

6x^2 - 8x - 8 = 0

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 6 (-8)

Вычисляем:

D = 64 + 192 = 256

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

x1 = (8 + √256) / (2 * 6) = (8 + 16) / 12 = 2

x2 = (8 - √256) / (2 * 6) = (8 - 16) / 12 = -2/3

Теперь мы знаем, что у уравнения f(x) есть два критических значения: x1 = 2 и x2 = -2/3. Чтобы у уравнения было два различных корня, необходимо, чтобы значение функции в этих точках было равным нулю.

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

f(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2) + a = 0

Вычислим:

f(2) = 16 - 16 - 16 + a = a - 16

Таким образом, для f(2) = 0 нам необходимо:

a - 16 = 0

=> a = 16

Теперь подставим второе значение:

f(-2/3) = 2(-2/3)^3 - 4(-2/3)^2 - 8(-2/3) + a = 0

Вычислим:

f(-2/3) = 2(-8/27) - 4(4/9) + 16/3 + a = 0

Приведем к общему знаменателю и упростим:

f(-2/3) = -16/27 - 16/9 + 16/3 + a = 0

Приведем все к 27:

f(-2/3) = -16/27 - 48/27 + 144/27 + a = 0

=> 80/27 + a = 0

=> a = -80/27

Теперь мы имеем два значения параметра a:

• a = 16
• a = -80/27

Таким образом, уравнение 2x^3 - 4x^2 - 8x + a = 0 будет иметь два различных корня при значениях параметра a = 16 и a = -80/27.