Как найти значение двойного интеграла по области, ограниченной кругом радиуса r:

∬{x^2 + y^2 ≤ r^2} dx dy =

Математика 11 класс Двойные интегралы двойной интеграл значение двойного интеграла область интегрирования круг радиуса r интеграл по кругу математический анализ вычисление интеграла Новый

Чтобы найти значение двойного интеграла по области, ограниченной кругом радиуса r, мы можем использовать полярные координаты. Давайте рассмотрим шаги, которые необходимо выполнить для решения этой задачи.

1. Определим область интегрирования:

   Область, ограниченная кругом радиуса r, описывается неравенством x^2 + y^2 ≤ r^2. В полярных координатах это неравенство принимает вид:

   0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, где R - радиус круга.

2. Перепишем функцию под интегралом:

   Функция, которую мы интегрируем, x^2 + y^2, в полярных координатах записывается как:

   r^2, где x = r * cos(θ) и y = r * sin(θ).

3. Запишем двойной интеграл в полярных координатах:

   Двойной интеграл будет выглядеть следующим образом:

   ∬{x^2 + y^2 ≤ r^2} dx dy = ∫(θ=0 to 2π) ∫(r=0 to R) r^2 * r dr dθ

   где дополнительный множитель r появляется из-за преобразования в полярные координаты.

4. Выполним интегрирование:
   1. Сначала интегрируем по r:

   ∫(r=0 to R) r^3 dr = [r^4 / 4] (от 0 до R) = R^4 / 4.

   2. Теперь интегрируем по θ:

   ∫(θ=0 to 2π) dθ = 2π.

5. Объединим результаты:

   Теперь мы можем объединить результаты обоих интегралов:

   Итак, двойной интеграл равен:

   (R^4 / 4) * (2π) = (π * R^4) / 2.

Таким образом, значение двойного интеграла по области, ограниченной кругом радиуса r, равно:

(π * r^4) / 2.