Чтобы найти значение двойного интеграла по области, ограниченной кругом радиуса r, мы можем использовать полярные координаты. Давайте рассмотрим шаги, которые необходимо выполнить для решения этой задачи.

1. Определим область интегрирования:

   Область, ограниченная кругом радиуса r, описывается неравенством x^2 + y^2 ≤ r^2. В полярных координатах это неравенство принимает вид:

   0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, где R - радиус круга.

2. Перепишем функцию под интегралом:

   Функция, которую мы интегрируем, x^2 + y^2, в полярных координатах записывается как:

   r^2, где x = r * cos(θ) и y = r * sin(θ).

3. Запишем двойной интеграл в полярных координатах:

   Двойной интеграл будет выглядеть следующим образом:

   ∬{x^2 + y^2 ≤ r^2}dx dy = ∫(θ=0 to 2π) ∫(r=0 to R) r^2 * r dr dθ

   где дополнительный множитель r появляется из-за преобразования в полярные координаты.

4. Выполним интегрирование:
   1. Сначала интегрируем по r:

   ∫(r=0 to R) r^3 dr = [r^4 / 4] (от 0 до R) = R^4 / 4.

   2. Теперь интегрируем по θ:

   ∫(θ=0 to 2π) dθ = 2π.

5. Объединим результаты:

   Теперь мы можем объединить результаты обоих интегралов:

   Итак, двойной интеграл равен:

   (R^4 / 4) * (2π) = (π * R^4) / 2.

Таким образом, значение двойного интеграла по области, ограниченной кругом радиуса r, равно:

(π * r^4) / 2.