Как вычислить двойной интеграл cos(x+y)dxdy на области, ограниченной y=π, x=0 и y=x?

Математика 11 класс Двойные интегралы вычислить двойной интеграл интеграл cos(x+y) область интегрирования y=π x=0 y=x математические методы интегрирования двойной интеграл в математике Новый

Привет! Давай разберемся, как вычислить этот двойной интеграл. Мы хотим найти интеграл функции cos(x+y) по области, ограниченной y=π, x=0 и y=x. Сначала давай определим, какая у нас область интегрирования.

Область ограничена следующими линиями:

• y = π (горизонтальная линия)
• x = 0 (вертикальная линия)
• y = x (диагональная линия)

Теперь, чтобы понять, как задавать пределы интегрирования, давай нарисуем эту область. Она будет выглядеть как треугольник, где одна вершина в точке (0, 0), вторая в (π, π), а третья в (0, π).

Теперь мы можем задать пределы интегрирования. Мы можем интегрировать сначала по x, а потом по y. В этом случае:

• x будет изменяться от 0 до y (потому что y = x).
• y будет изменяться от 0 до π.

Теперь мы можем записать наш двойной интеграл:

∫∫ cos(x+y) dx dy = ∫ (от 0 до π) ∫ (от 0 до y) cos(x+y) dx dy

Теперь давай сначала посчитаем внутренний интеграл:

∫ (от 0 до y) cos(x+y) dx

Здесь мы можем сделать замену переменной. Пусть u = x + y, тогда dx = du и когда x = 0, u = y, а когда x = y, u = 2y. Теперь интеграл становится:

∫ (от y до 2y) cos(u) du

Интегрируем cos(u):

sin(u) (от y до 2y) = sin(2y) - sin(y)

Теперь подставим это в наш внешний интеграл:

∫ (от 0 до π) (sin(2y) - sin(y)) dy

Теперь вычисляем этот интеграл по частям:

• ∫ sin(2y) dy = -1/2 cos(2y)
• ∫ sin(y) dy = -cos(y)

Теперь подставим пределы от 0 до π:

[-1/2 cos(2y)] (от 0 до π) - [-cos(y)] (от 0 до π)

После подстановки получим:

• Для первого интеграла: -1/2 (cos(2π) - cos(0)) = -1/2 (1 - 1) = 0
• Для второго интеграла: - (cos(π) - cos(0)) = - (-1 - 1) = 2

Теперь складываем результаты:

0 + 2 = 2

Итак, значение двойного интеграла равно 2. Надеюсь, это было понятно! Если есть вопросы, спрашивай!