Как вычислить двойной интеграл cos(x+y)dxdy на области, заданной уравнениями y=π, x=0 и y=x?

Математика 11 класс Двойные интегралы двойной интеграл вычисление интеграла cos(x+y) область интегрирования математический анализ Новый

Чтобы вычислить двойной интеграл функции cos(x+y) на заданной области, сначала определим границы интегрирования. Данная область ограничена следующими уравнениями:

• y = π (горняя граница)
• x = 0 (левая граница)
• y = x (диагональная граница)

Теперь давайте визуализируем область интегрирования. Мы видим, что:

• Линия y = π - это горизонтальная линия на уровне π.
• Линия x = 0 - это вертикальная линия, проходящая через начало координат.
• Линия y = x - это прямая, которая проходит через начало координат под углом 45 градусов.

Область, ограниченная этими линиями, представляет собой треугольник с вершинами в точках (0, 0), (π, π) и (0, π).

Теперь определим порядок интегрирования. Мы можем интегрировать сначала по x, а затем по y. Границы интегрирования будут следующими:

• Для y: от 0 до π.
• Для x: от 0 до y (так как x ограничено прямой y = x).

Теперь можем записать двойной интеграл:

∫∫ cos(x+y) dx dy = ∫ (от 0 до π) ∫ (от 0 до y) cos(x+y) dx dy

Теперь начнем с внутреннего интеграла:

1. Интегрируем по x:

∫ (от 0 до y) cos(x+y) dx.

Для этого сделаем замену переменной: пусть u = x + y, тогда du = dx, и когда x = 0, u = y, а когда x = y, u = 2y.

Таким образом, внутренний интеграл преобразуется в:

∫ (от y до 2y) cos(u) du.

2. Теперь вычислим этот интеграл:

∫ cos(u) du = sin(u), и подставим пределы:

sin(2y) - sin(y).

Теперь подставляем результат внутреннего интеграла в внешний интеграл:

∫ (от 0 до π) (sin(2y) - sin(y)) dy.

Теперь вычислим этот интеграл:

1. ∫ sin(2y) dy = -1/2 * cos(2y), и пределы от 0 до π:

-1/2 * (cos(2π) - cos(0)) = -1/2 * (1 - 1) = 0.

2. ∫ sin(y) dy = -cos(y), и пределы от 0 до π:

-cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2.

Теперь подставим результаты:

Внешний интеграл будет равен:

0 - 2 = -2.

Таким образом, окончательный ответ:

Двойной интеграл cos(x+y) dx dy на заданной области равен -2.