Чтобы найти значение интеграла ∫₀^π/3 cos⁴x sin x dx, мы можем использовать метод подстановки и некоторые тригонометрические преобразования. Рассмотрим шаги решения:

1. Подстановка: Мы можем использовать подстановку u = cos x. Тогда производная du будет равна -sin x dx, что позволяет нам выразить sin x dx через du:
• du = -sin x dx
• sin x dx = -du
2. Изменение пределов интегрирования: При подстановке изменятся пределы интегрирования:
• Когда x = 0, u = cos(0) = 1
• Когда x = π/3, u = cos(π/3) = 1/2
3. Запись интеграла в новых переменных: Теперь мы можем переписать интеграл:
• ∫₀^π/3 cos⁴x sin x dx = -∫₁^1/2 u⁴ du
4. Изменение знака интеграла: Изменив пределы интегрирования, мы можем избавиться от знака минус:
• -∫₁^1/2 u⁴ du = ∫_1/2¹ u⁴ du
5. Вычисление интеграла: Теперь вычислим интеграл:
• ∫ u⁴ du = (1/5) u⁵ + C
• Теперь подставим пределы: (1/5) * (1⁵ - (1/2)⁵)
• Это будет равно (1/5) * (1 - 1/32) = (1/5) * (32/32 - 1/32) = (1/5) * (31/32) = 31/160

Ответ: Значение интеграла ∫₀^π/3 cos⁴x sin x dx равно 31/160.