Как найти значение выражения sin⁴(π/8) + sin⁴(3π/8) + sin⁴(5π/8) + sin⁴(7π/8)?

Математика 11 класс Тригонометрические функции значение выражения sin⁴(π/8) sin⁴(3π/8) sin⁴(5π/8) sin⁴(7π/8) математика 11 класс Тригонометрия задачи по математике вычисление выражений Новый

Для нахождения значения выражения sin⁴(π/8) + sin⁴(3π/8) + sin⁴(5π/8) + sin⁴(7π/8) мы можем воспользоваться некоторыми свойствами тригонометрических функций и симметрией.

Шаг 1: Упрощение выражения

Обратите внимание, что sin(5π/8) и sin(7π/8) можно выразить через sin(π/8) и sin(3π/8):

• sin(5π/8) = sin(π - 3π/8) = sin(3π/8)
• sin(7π/8) = sin(π - π/8) = sin(π/8)

Таким образом, мы можем переписать наше выражение:

sin⁴(π/8) + sin⁴(3π/8) + sin⁴(5π/8) + sin⁴(7π/8) = 2 * (sin⁴(π/8) + sin⁴(3π/8))

Шаг 2: Использование формулы для sin²(x)

Теперь нам нужно найти значение sin⁴(π/8) и sin⁴(3π/8). Для этого мы можем использовать следующее:

sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Таким образом, sin⁴(x) = (sin²(x))² = ((1 - cos(2x)) / 2)².

Шаг 3: Вычисление sin⁴(π/8) и sin⁴(3π/8)

• Для x = π/8:
• sin²(π/8) = (1 - cos(π/4)) / 2 = (1 - √2/2) / 2 = (2 - √2) / 4
• sin⁴(π/8) = ((2 - √2) / 4)² = (2 - √2)² / 16 = (4 - 4√2 + 2) / 16 = (6 - 4√2) / 16 = (3 - 2√2) / 8
• Для x = 3π/8:
• sin²(3π/8) = (1 - cos(3π/4)) / 2 = (1 + √2/2) / 2 = (2 + √2) / 4
• sin⁴(3π/8) = ((2 + √2) / 4)² = (2 + √2)² / 16 = (4 + 4√2 + 2) / 16 = (6 + 4√2) / 16 = (3 + 2√2) / 8

Шаг 4: Подставляем значения в выражение

Теперь подставим найденные значения:

2 * (sin⁴(π/8) + sin⁴(3π/8)) = 2 * ((3 - 2√2) / 8 + (3 + 2√2) / 8)

Это упрощается до:

2 * (6 / 8) = 2 * (3/4) = 3/2.

Ответ: Значение выражения sin⁴(π/8) + sin⁴(3π/8) + sin⁴(5π/8) + sin⁴(7π/8) равно 3/2.