Как привести уравнение кривых второго порядка к каноническому виду?

Что нужно найти:

• оси, вершины, фокусы, эксцентриситет для эллипса;
• оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты для гиперболы;
• фокус, директрису, вершину для параболы.

(x^2)-4x+(3y^2)-6y-9=0

Математика 11 класс Кривые второго порядка уравнение кривых второго порядка канонический вид эллипс гипербола парабола фокусы эксцентриситет асимптоты директрисы вершины Новый

Чтобы привести уравнение кривых второго порядка к каноническому виду, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем это на примере уравнения:

(x^2) - 4x + (3y^2) - 6y - 9 = 0

1. **Переносим все члены в одну сторону уравнения:**

(x^2) - 4x + (3y^2) - 6y = 9

2. **Соберем квадраты по x и y. Для этого нужно выделить полный квадрат. Начнем с x:**

• Для x^2 - 4x выделим полный квадрат:
• (x^2 - 4x) = (x - 2)^2 - 4

3. **Теперь займемся y:**

• Для 3y^2 - 6y выделим полный квадрат:
• Сначала вынесем 3: 3(y^2 - 2y)
• Теперь выделим полный квадрат: y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
• Таким образом, 3(y^2 - 2y) = 3((y - 1)^2 - 1) = 3(y - 1)^2 - 3

4. **Теперь подставим все обратно в уравнение:**

((x - 2)^2 - 4) + (3(y - 1)^2 - 3) = 9

((x - 2)^2 - 4 + 3(y - 1)^2 - 3) = 9

((x - 2)^2 + 3(y - 1)^2 - 7) = 9

5. **Приведем уравнение к каноническому виду:**

((x - 2)^2 + 3(y - 1)^2) = 16

Теперь мы можем записать уравнение в канонической форме:

(x - 2)^2/16 + (y - 1)^2/(16/3) = 1

Это уравнение эллипса. Теперь найдем необходимые характеристики:

6. **Определяем параметры эллипса:**

• Центр эллипса: (2, 1)
• Полуоси:
• a = 4 (поскольку 16 = 4^2)
• b = 2√3 (поскольку 16/3 = (2√3)^2)
• Фокусы: Для нахождения фокусов используем формулу c = √(a^2 - b^2):
• c = √(16 - (12)) = √4 = 2
• Фокусы находятся на оси x: (2 ± 2, 1) → (4, 1) и (0, 1)
• Эксцентриситет: e = c/a = 2/4 = 0.5

Таким образом, мы привели уравнение к каноническому виду и нашли все необходимые параметры эллипса:

• Центр: (2, 1)
• Фокусы: (4, 1) и (0, 1)
• Эксцентриситет: 0.5
• Полуоси: a = 4, b = 2√3