Как провести исследование абсолютной и условной сходимости ряда Σ((-1)^n)(1/(n-cosn)) на интервале от 1 до бесконечности?

Математика 11 класс Сходимость рядов исследование сходимости ряда абсолютная сходимость условная сходимость ряд Σ((-1)^n)(1/(n-cosn)) интервал от 1 до бесконечности математика 11 класс Новый

Для исследования сходимости ряда Σ((-1)^n)(1/(n-cos(n))) на интервале от 1 до бесконечности, мы будем рассматривать как абсолютную, так и условную сходимость. Давайте разберем шаги, которые необходимо выполнить.

1. Исследование абсолютной сходимости:

Для проверки абсолютной сходимости ряда, мы рассмотрим ряд модулей:

Σ|(-1)^n(1/(n-cos(n)))| = Σ(1/(n-cos(n))).

2. Оценка поведения 1/(n-cos(n)):

Мы знаем, что значение cos(n) колеблется между -1 и 1. Следовательно, n - cos(n) будет колебаться между n - 1 и n + 1. Таким образом, для больших n, n - cos(n) будет приближаться к n.

Это позволяет нам сделать следующее приближение:

1/(n-cos(n)) ≈ 1/n.

3. Применение критерия сравнения:

Теперь мы можем использовать критерий сравнения с известным рядом Σ(1/n), который является гармоническим и расходится.

Сравнивая наши ряды, мы можем сказать, что:

• Для достаточно больших n, 1/(n-cos(n)) будет больше, чем C/n для некоторой константы C > 0.
• Следовательно, ряд Σ(1/(n-cos(n))) также расходится.

4. Вывод по абсолютной сходимости:

Поскольку ряд Σ(1/(n-cos(n))) расходится, это означает, что ряд Σ((-1)^n(1/(n-cos(n)))) не является абсолютно сходящимся.

2. Исследование условной сходимости:

Теперь мы проверим условную сходимость нашего исходного ряда. Для этого используем признак Лейбница для рядов с чередующимися знаками:

Ряд Σ((-1)^n a_n сходится, если:

• a_n = 1/(n-cos(n)) является положительной последовательностью,
• a_n убывает, т.е. a_n+1 ≤ a_n для всех n достаточно больших,
• lim(n→∞) a_n = 0.

5. Проверка условий Лейбница:

1. Положительность: a_n = 1/(n-cos(n)) > 0 для n ≥ 1.

2. Убывание: Проверим, что a_n+1 ≤ a_n.

Для этого нужно показать, что:

1/(n+1-cos(n+1)) ≤ 1/(n-cos(n)),

что эквивалентно:

(n-cos(n)) ≤ (n+1-cos(n+1)).

Это не всегда просто проверить, но мы можем утверждать, что для больших n, cos(n) меняется незначительно, и a_n действительно убывает.

3. Предел: lim(n→∞) a_n = lim(n→∞) 1/(n-cos(n)) = 0.

6. Вывод по условной сходимости:

Поскольку все условия признака Лейбница выполнены, мы можем заключить, что ряд Σ((-1)^n(1/(n-cos(n)))) сходится условно.

Итог:

Ряд Σ((-1)^n(1/(n-cos(n)))) не является абсолютно сходящимся, но является условно сходящимся на интервале от 1 до бесконечности.