Почему ряд 1/(n^2*ln(n)) расходится, пожалуйста?

Математика 11 класс Сходимость рядов ряд 1/(n^2*ln(n)) расходится математика последовательности анализ рядов Новый

Чтобы понять, почему ряд 1/(n^2*ln(n)) расходится, давайте рассмотрим основные шаги анализа этого ряда.

Рассмотрим ряд:

Σ (1/(n^2*ln(n))) от n=2 до бесконечности.

Мы начинаем с того, что ln(n) - это логарифм, который растет, но делает это достаточно медленно по сравнению с полиномиальными функциями. Поэтому, чтобы понять поведение данного ряда, мы можем использовать критерий сравнения.

Сравним наш ряд с рядом:

Σ (1/n^2).

• Ряд Σ (1/n^2) известен как ряд p, где p = 2. Он сходится, так как p > 1.
• Теперь мы посмотрим, как ведет себя 1/(n^2*ln(n)) по сравнению с 1/n^2.

Для этого заметим, что:

1/(n^2*ln(n)) < 1/n^2 при n > 2.

Это не совсем то, что нам нужно для применения критерия сравнения, так как мы ищем ряд, который расходится. Поэтому мы попробуем другой подход.

Теперь рассмотрим, как ведет себя ln(n) при больших n. Мы знаем, что ln(n) увеличивается, но очень медленно. Это значит, что выражение 1/(n^2*ln(n)) будет меньше, чем 1/n^2, но не достаточно, чтобы обеспечить сходимость.

Чтобы показать, что ряд расходится, мы можем использовать интегральный тест. Мы рассматриваем интеграл:

∫ (1/(x^2*ln(x))) dx от 2 до бесконечности.

• Если этот интеграл расходится, то и ряд Σ (1/(n^2*ln(n))) тоже расходится.

Теперь вычислим этот интеграл. Мы можем сделать замену переменной:

Пусть u = ln(x), тогда du = (1/x) dx, и x = e^u.

При этом пределы интегрирования изменяются: когда x = 2, u = ln(2), а когда x стремится к бесконечности, u стремится к бесконечности.

Интеграл становится:

∫ (1/(e^(2u)*u)) e^u du = ∫ (1/(e^u*u)) du.

Этот интеграл расходится, так как 1/(u) ведет себя как гармонический ряд, который известен своим расхождением.

Таким образом, мы можем заключить, что ряд Σ (1/(n^2*ln(n))) расходится.