Как решить 13 задание ЕГЭ по профильной математике, где требуется найти корни уравнения:

1. 2sin^2(x) - √3cos(x - п) - 2 = 0
2. в интервале [-4п; -5п/2]?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение 13 задания ЕГЭ профильная математика корни уравнения тригонометрическое уравнение интервал [-4п; -5п/2] Новый

Для решения уравнения 2sin^2(x) - √3cos(x - π) - 2 = 0 в интервале [-4π; -5π/2], давайте сначала упростим уравнение и выразим его через одну тригонометрическую функцию.

1. Перепишем косинус: Используем формулу для косинуса разности:
• cos(x - π) = cos(x)cos(π) + sin(x)sin(π)
• Поскольку cos(π) = -1 и sin(π) = 0, получаем:
• cos(x - π) = -cos(x)
2. Подставим это в уравнение:
• 2sin^2(x) - √3(-cos(x)) - 2 = 0
• 2sin^2(x) + √3cos(x) - 2 = 0
3. Заменим sin^2(x): Используем тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x):
• 2(1 - cos^2(x)) + √3cos(x) - 2 = 0
• 2 - 2cos^2(x) + √3cos(x) - 2 = 0
• -2cos^2(x) + √3cos(x) = 0
4. Вынесем общий множитель:
• cos(x)(-2cos(x) + √3) = 0
5. Решим это уравнение:
• Первое уравнение: cos(x) = 0
• Второе уравнение: -2cos(x) + √3 = 0, отсюда cos(x) = √3/2

Теперь найдем корни для каждого случая в заданном интервале.

1. Для cos(x) = 0:
• cos(x) = 0 при x = π/2 + kπ, где k - целое число.
• В интервале [-4π; -5π/2] найдем возможные значения:
• k = -8: x = π/2 - 8π = -15π/2 (не входит в интервал)
• k = -7: x = π/2 - 7π = -13π/2 (не входит в интервал)
• k = -6: x = π/2 - 6π = -11π/2 (не входит в интервал)
• k = -5: x = π/2 - 5π = -9π/2 (не входит в интервал)
• k = -4: x = π/2 - 4π = -7π/2 (не входит в интервал)
• k = -3: x = π/2 - 3π = -5π/2 (входит в интервал)
• Таким образом, x = -5π/2 - это один из корней.
2. Для cos(x) = √3/2:
• cos(x) = √3/2 при x = π/6 + 2kπ и x = -π/6 + 2kπ.
• Найдем корни:
• k = -3: x = π/6 - 6π = -35π/6 (не входит в интервал)
• k = -2: x = π/6 - 4π = -23π/6 (не входит в интервал)
• k = -1: x = π/6 - 2π = -11π/6 (не входит в интервал)
• k = 0: x = π/6 (не входит в интервал)
• k = -3: x = -π/6 - 6π = -37π/6 (не входит в интервал)
• k = -2: x = -π/6 - 4π = -25π/6 (не входит в интервал)
• k = -1: x = -π/6 - 2π = -13π/6 (входит в интервал)
• Таким образом, x = -13π/6 - это второй корень.

Итак, корни уравнения в заданном интервале:

• x = -5π/2
• x = -13π/6