Похожие вопросы
2025-01-15 07:28:40
Как решить интеграл ∫(1+x)/√(1-x²)dx? Пожалуйста, предоставьте подробное решение.
Математика 11 класс Интегралы решение интеграла интеграл ∫(1+x)/√(1-x²)dx математика 11 класс подробное решение интеграла методы интегрирования
2025-01-15 07:30:17
Чтобы решить интеграл ∫(1+x)/√(1-x²)dx, давайте разобьем его на две части. Мы можем записать интеграл как сумму двух интегралов:
∫(1+x)/√(1-x²)dx = ∫1/√(1-x²)dx + ∫x/√(1-x²)dx.
Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности.
1. Решаем интеграл ∫1/√(1-x²)dx:Этот интеграл известен и равен arcsin(x) + C, где C - произвольная постоянная. Это происходит потому, что производная arcsin(x) равна 1/√(1-x²).
2. Решаем интеграл ∫x/√(1-x²)dx:Для этого интеграла мы можем использовать метод подстановки. Пусть:
- u = 1 - x²,
- du = -2x dx,
- dx = -du/(2x).
Теперь подставим это в интеграл:
∫x/√(1-x²)dx = ∫x/√u * (-du/(2x)) = -1/2 ∫1/√u du.
Интеграл ∫1/√u du равен 2√u + C, поэтому:
-1/2 * (2√u) = -√u + C = -√(1-x²) + C.
3. Объединяем результаты:Теперь мы можем объединить результаты двух интегралов:
∫(1+x)/√(1-x²)dx = arcsin(x) - √(1-x²) + C.
Таким образом, окончательный ответ:
∫(1+x)/√(1-x²)dx = arcsin(x) - √(1-x²) + C.
