Для решения интеграла ∫ (x^(3/4) + 3√x + (5x + 1) cos 2x) dx от 0, мы разделим его на три отдельных интеграла, так как интеграл суммы равен сумме интегралов. Таким образом, мы можем записать:

∫ (x^(3/4) + 3√x + (5x + 1) cos 2x) dx = ∫ x^(3/4) dx + ∫ 3√x dx + ∫ (5x + 1) cos 2x dx

Теперь давайте решим каждый из этих интегралов по отдельности:

1. Интеграл ∫ x^(3/4) dx:

Для нахождения этого интеграла используем правило интегрирования степенной функции:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = 3/4, следовательно:

∫ x^(3/4) dx = (x^(3/4 + 1))/(3/4 + 1) = (x^(7/4))/(7/4) = (4/7) x^(7/4) + C.

2. Интеграл ∫ 3√x dx:

Заменим 3√x на 3x^(1/2):

∫ 3√x dx = ∫ 3x^(1/2) dx = 3 * ∫ x^(1/2) dx.

Теперь применяем правило интегрирования:

∫ x^(1/2) dx = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) = (x^(3/2))/(3/2) = (2/3)x^(3/2).

Таким образом:

∫ 3√x dx = 3 * (2/3)x^(3/2) = 2x^(3/2) + C.

3. Интеграл ∫ (5x + 1) cos 2x dx:

Этот интеграл можно решить по частям. Пусть:

• u = 5x + 1, тогда du = 5 dx;
• dv = cos 2x dx, тогда v = (1/2)sin 2x.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Тогда:

∫ (5x + 1) cos 2x dx = (5x + 1)(1/2)sin 2x - ∫ (1/2)sin 2x * 5 dx.

Теперь решим второй интеграл:

∫ (1/2)sin 2x * 5 dx = (5/2) ∫ sin 2x dx = (5/2)(-1/2)cos 2x = -(5/4)cos 2x.

Таким образом:

∫ (5x + 1) cos 2x dx = (5x + 1)(1/2)sin 2x + (5/4)cos 2x + C.

Теперь мы можем собрать все части вместе:

∫ (x^(3/4) + 3√x + (5x + 1) cos 2x) dx = (4/7)x^(7/4) + 2x^(3/2) + (5x + 1)(1/2)sin 2x + (5/4)cos 2x + C.

Теперь, если нужно найти определённый интеграл от 0 до a, подставьте пределы интегрирования в полученную формулу и вычислите значение.