Как решить логарифмическое неравенство:

log 4 (2+x) ≥ 2 log 4(x)

Как составить систему из 1 неравенства и найти общее решение этой системы?

Математика 11 класс Логарифмические неравенства логарифмическое неравенство решение неравенства система неравенств математика 11 класс логарифмы общее решение алгебра методы решения математические неравенства учебник по математике Новый

Для решения логарифмического неравенства log₄(2+x) ≥ 2 log₄(x) начнем с упрощения правой части неравенства.

1. Используем свойство логарифмов: 2 log₄(x) = log₄(x²). Таким образом, мы можем переписать неравенство:

log₄(2+x) ≥ log₄(x²)

2. Так как логарифм с основанием 4 является возрастающей функцией, мы можем убрать логарифмы, если обе стороны неравенства положительны:

2 + x ≥ x²

3. Переносим все в одну сторону:

0 ≥ x² - x - 2

4. Теперь решим квадратное неравенство x² - x - 2 ≤ 0. Для этого найдем корни соответствующего уравнения:

x² - x - 2 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

5. Подставляем значения:

x = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = 2
• x₂ = -1

6. Теперь определим промежутки, на которых неравенство выполняется. Мы имеем корни -1 и 2. Рассмотрим промежутки:

• (-∞, -1)
• (-1, 2)
• (2, +∞)

7. Проверим знак выражения x² - x - 2 на каждом из промежутков:

• Для x < -1: например, x = -2: (-2)² - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0
• Для -1 < x < 2: например, x = 0: (0)² - 0 - 2 = -2 < 0
• Для x > 2: например, x = 3: (3)² - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0

8. Таким образом, неравенство x² - x - 2 ≤ 0 выполняется на промежутке (-1, 2).

9. Не забываем про ограничения, которые накладывает логарифм:

• 2 + x > 0 → x > -2
• x > 0 (так как логарифм определен только для положительных чисел)

10. Объединим все условия:

Итак, у нас есть промежуток (-1, 2) и ограничения x > -2 и x > 0. Таким образом, общее решение этой системы:

x ∈ (0, 2)

Это и есть общее решение логарифмического неравенства.