Логарифмическое неравенство

Как решить неравенство с помощью алгоритма?

1. Необходимо добиться того, чтобы по обе стороны от знака неравенства был логарифм с одинаковыми основаниями.
2. Составим систему:
   • [1-е выражение - выражение логарифма > 0]
   • [2-е выражение - это само неравенство без логарифма]
3. Если основание < 1, то меняем знак неравенства на противоположный.
4. Решаем каждое из выражений.
5. Строим числовую прямую и находим общее решение.
6. Ответ.

log0,5(3x+0,5) + log0,5(x-2) > -2

Математика 11 класс Логарифмические неравенства логарифмическое неравенство решение неравенства алгоритм решения неравенства логарифмы математические неравенства основы логарифмов числовая прямая общее решение неравенства Новый

Решение неравенства:

1. Применим свойства логарифмов:
• log0,5(3x+0,5) + log0,5(x-2) = log0,5((3x+0,5)(x-2))
2. Запишем неравенство:
• log0,5((3x+0,5)(x-2)) > -2
3. Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:
• (3x+0,5)(x-2) < 0,5^-2 = 4
4. Составим систему:
• 1-е выражение: (3x+0,5)(x-2) > 0
• 2-е выражение: (3x+0,5)(x-2) < 4
5. Решим 1-е выражение:
• 3x + 0,5 = 0 → x = -1/6
• x - 2 = 0 → x = 2
• Знаки: (-∞, -1/6) ∪ (2, +∞)
6. Решим 2-е выражение:
• 3x^2 - 6x + 0,5 - 4 < 0 → 3x^2 - 6x - 3,5 < 0
• Находим корни уравнения: x1 ≈ 3,5; x2 ≈ -0,5
• Знаки: (-∞, -0,5) ∪ (3,5, +∞)
7. Объединим решения:
• Общее решение: (-0,5, -1/6) ∪ (2, 3,5)

Ответ: (-0,5, -1/6) ∪ (2, 3,5)