Для решения логарифмического неравенства log_1/5(x² - 5x + 7) < 0 нам нужно понять, при каких значениях x данное неравенство выполняется.

Шаг 1: Анализ логарифмической функции.

Логарифм с основанием 1/5 является убывающей функцией. Это значит, что неравенство log_1/5(A) < 0 будет выполняться, когда A > 1.

Шаг 2: Применяем это к нашему неравенству.

Таким образом, мы можем записать:

Шаг 3: Переносим 1 в левую часть неравенства:

Шаг 4: Решаем квадратное неравенство.

Для этого сначала найдем корни соответствующего уравнения:

Мы можем использовать дискриминант:

• D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

Корни уравнения находятся по формуле:

• x₁ = (5 + √D) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3
• x₂ = (5 - √D) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2

Шаг 5: Определяем знаки функции.

Теперь у нас есть корни x₁ = 2 и x₂ = 3. Мы можем разбить числовую прямую на интервалы:

• (-∞, 2)
• (2, 3)
• (3, +∞)

Теперь проверим знак выражения x² - 5x + 6 на каждом из этих интервалов:

• Для x < 2 (например, x = 0): 0² - 5*0 + 6 = 6 > 0
• Для 2 < x < 3 (например, x = 2.5): 2.5² - 5*2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0
• Для x > 3 (например, x = 4): 4² - 5*4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0

Шаг 6: Записываем ответ.

Таким образом, неравенство x² - 5x + 6 > 0 выполняется на интервалах:

Итак, решение логарифмического неравенства log_1/5(x² - 5x + 7) < 0: