Как решить следующие уравнения?

1. 3 sin² x + sin x - 1 = 0
2. sin² x - 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнений тригонометрические уравнения математика 11 класс синус косинус уравнения как решить уравнения Новый

Давайте решим оба уравнения по очереди. Начнем с первого уравнения:

1. Уравнение: 3 sin² x + sin x - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно sin x. Чтобы решить его, мы можем использовать замену:

• Пусть y = sin x. Тогда уравнение примет вид: 3y² + y - 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 3 * (-1) = 1 + 12 = 13.
• Теперь находим корни уравнения: y = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем значения:

• y₁ = (-1 + √13) / (2 * 3) = (-1 + √13) / 6,
• y₂ = (-1 - √13) / (2 * 3) = (-1 - √13) / 6.

Теперь нам нужно найти значения sin x:

• Проверяем, находятся ли корни в пределах [-1, 1].
• y₁ = (-1 + √13) / 6 ≈ 0.434 (приемлемо),
• y₂ = (-1 - √13) / 6 < -1 (неприемлемо).

Таким образом, у нас есть один корень: y₁ = sin x ≈ 0.434. Теперь находим угол x:

• x = arcsin(0.434) + 2kπ или x = π - arcsin(0.434) + 2kπ, где k – целое число.

2. Уравнение: sin² x - 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0

Это уравнение можно переписать, используя тригонометрические тождества. Заменим cos² x на 1 - sin² x:

• sin² x - 3 sin x (√(1 - sin² x)) + 2(1 - sin² x) = 0.

Теперь упростим уравнение:

• sin² x - 3 sin x √(1 - sin² x) + 2 - 2 sin² x = 0.
• - sin² x - 3 sin x √(1 - sin² x) + 2 = 0.

Теперь мы видим, что у нас есть квадратный корень. Заменим sin x на y:

• y² - 3y√(1 - y²) + 2 = 0.

Далее, чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:

• (y² - 2)² = (3y√(1 - y²))².

После этого у нас получится уравнение, которое можно решить как квадратное. Однако, чтобы не усложнять решение, давайте вернемся к исходному уравнению и попробуем решить его другим способом:

• Распределим: sin² x - 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0.
• Теперь представим его в виде: (sin x - cos x)(sin x - 2 cos x) = 0.

Теперь решим два уравнения:

• sin x - cos x = 0 → sin x = cos x → x = π/4 + kπ, где k – целое число.
• sin x - 2 cos x = 0 → sin x = 2 cos x → tan x = 2 → x = arctan(2) + kπ.

Таким образом, мы нашли решения для обоих уравнений:

Результаты:

• Для первого уравнения: x = arcsin(0.434) + 2kπ и x = π - arcsin(0.434) + 2kπ.
• Для второго уравнения: x = π/4 + kπ и x = arctan(2) + kπ.

Если у вас есть вопросы по каждому шагу, не стесняйтесь задавать их!