Как решить тригонометрическое уравнение cos2x=sinx-cosx?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения cos2x sinx cosX 11 класс математика методы решения Тригонометрия алгебраические преобразования угловые функции уравнения с косинусом уравнения с синусом Новый

Для решения тригонометрического уравнения cos(2x) = sin(x) - cos(x) начнем с преобразования левой части уравнения. Мы знаем, что cos(2x) можно выразить через cos(x) и sin(x):

• cos(2x) = cos²(x) - sin²(x).

Теперь подставим это в уравнение:

cos²(x) - sin²(x) = sin(x) - cos(x)

Переносим все элементы в одну сторону:

cos²(x) - sin²(x) - (sin(x) - cos(x)) = 0

Упрощаем уравнение:

• cos²(x) - sin²(x) + cos(x) - sin(x) = 0.

Теперь мы можем сгруппировать наши множители:

(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x) + 1) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю, что означает, что хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. cos(x) - sin(x) = 0

Это уравнение можно переписать как:

cos(x) = sin(x)

Делим обе стороны на cos(x) (при условии, что cos(x) не равен нулю):

1 = tg(x)

Таким образом, мы получаем:

tg(x) = 1

Решение этого уравнения:

x = π/4 + πn, где n ∈ Z

2. cos(x) + sin(x) + 1 = 0

Теперь решим второе уравнение:

cos(x) + sin(x) = -1

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

cos(x) + sin(x) = sqrt(2) * sin(x + π/4)

Для этого нам нужно привести уравнение к стандартному виду. Итак, получаем:

sqrt(2) * sin(x + π/4) = -1

Делим обе стороны на sqrt(2):

sin(x + π/4) = -1/sqrt(2)

Решение этого уравнения:

x + π/4 = -π/4 + 2kπ, где k ∈ Z

Отсюда находим x:

x = -π/2 + 2kπ

Теперь мы собрали все полученные решения:

• x = π/4 + πn, где n ∈ Z
• x = -π/2 + 2kπ, где k ∈ Z

Таким образом, мы нашли все решения данного тригонометрического уравнения!