Как решить уравнение: 1) 4ctgx/(1+ctg^2x) + sin^22x+1=0?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрии решение уравнения математика ctg sin тригонометрические функции уравнения с синусом математические задачи Новый

Для решения уравнения 4ctgx/(1+ctg^2x) + sin^22x + 1 = 0 нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что упростим выражение. У нас есть ctg(x), которое можно выразить через sin(x) и cos(x): ctg(x) = cos(x)/sin(x). Это поможет нам упростить выражение.
2. Упростим первое слагаемое: Заменим ctg(x) на cos(x)/sin(x) в первом слагаемом:
   • 4ctg(x)/(1 + ctg^2(x)) = 4(cos(x)/sin(x)) / (1 + (cos^2(x)/sin^2(x)))
   • Объединим дробь в знаменателе: 1 + (cos^2(x)/sin^2(x)) = (sin^2(x) + cos^2(x))/sin^2(x) = 1/sin^2(x).
   • Таким образом, мы получаем: 4(cos(x)/sin(x)) * (sin^2(x)) = 4cos(x)sin(x).
3. Упростим второе слагаемое: У нас есть sin^2(2x). Напомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), и следовательно sin^2(2x) = 4sin^2(x)cos^2(x).
4. Подставим упрощенные выражения в уравнение: Теперь мы можем переписать уравнение: 4cos(x)sin(x) + 4sin^2(x)cos^2(x) + 1 = 0.
5. Выделим общий множитель: Обратите внимание, что в первых двух слагаемых есть общий множитель 4sin(x)cos(x). Мы можем вынести его: 4sin(x)cos(x)(1 + sin(x)cos(x)) + 1 = 0.
6. Решим уравнение: Теперь у нас есть два множителя:
   • Первый множитель: 4sin(x)cos(x) = 0. Это дает нам два случая:
     • sin(x) = 0, что приводит к x = nπ, где n - целое число.
     • cos(x) = 0, что приводит к x = (2n + 1)π/2, где n - целое число.
   • Второй множитель: 1 + sin(x)cos(x) = -1, что не имеет решений в действительных числах, так как sin(x)cos(x) всегда находится в диапазоне [-1/2, 1/2].

Таким образом, окончательные решения уравнения 4ctg(x)/(1+ctg^2(x)) + sin^2(2x) + 1 = 0:

• x = nπ, где n - целое число;
• x = (2n + 1)π/2, где n - целое число.