Как решить уравнение 28x^3 - 15x^2 - 1 = 0, используя метод половинного деления или метод Ньютона?

Математика 11 класс Уравнения третьей степени уравнение 28x^3 - 15x^2 - 1 = 0 метод половинного деления метод Ньютона решение уравнения математические методы численные методы корни уравнения Новый

Для решения уравнения 28x^3 - 15x^2 - 1 = 0 можно использовать метод половинного деления или метод Ньютона. Давайте рассмотрим оба метода по шагам.

Метод половинного деления:

Этот метод основан на том, что мы ищем корень уравнения в заданном интервале. Сначала нужно определить интервал, в котором находится корень.

1. Определение интервала: Подберем значения x, чтобы найти знак функции в этих точках. Например, подставим x = -1 и x = 1:
• f(-1) = 28(-1)^3 - 15(-1)^2 - 1 = -28 - 15 - 1 = -44 (отрицательное)
• f(1) = 28(1)^3 - 15(1)^2 - 1 = 28 - 15 - 1 = 12 (положительное)
2. Так как f(-1) < 0 и f(1) > 0, значит, корень находится в интервале (-1, 1).
3. Применение метода половинного деления: Разделим интервал пополам:
• Находим середину: c = (-1 + 1) / 2 = 0.
• Подставляем c в уравнение: f(0) = 28(0)^3 - 15(0)^2 - 1 = -1 (отрицательное).
• Теперь у нас есть новый интервал: (-1, 0).
4. Продолжаем процесс:
• Находим новую середину: c = (-1 + 0) / 2 = -0.5.
• f(-0.5) = 28(-0.5)^3 - 15(-0.5)^2 - 1 = -3.5 (отрицательное).
• Новый интервал: (-0.5, 0).
5. Продолжаем до тех пор, пока не достигнем нужной точности.

Метод Ньютона:

Теперь рассмотрим метод Ньютона, который требует начального приближения.

1. Выбор начального приближения: Можно взять, например, x0 = 0.
2. Определение производной: Найдем производную функции:
• f'(x) = 84x^2 - 30x.
3. Применение формулы Ньютона: Используем формулу:
• x1 = x0 - f(x0) / f'(x0).
4. Подставляем значения:
• f(0) = -1, f'(0) = -30.
• x1 = 0 - (-1) / (-30) = 0 + 1/30 = 1/30.
5. Повторяем процесс, подставляя новое значение x1 в формулу, пока не достигнем нужной точности.

В итоге, оба метода позволят найти корень уравнения 28x^3 - 15x^2 - 1 = 0. Метод половинного деления более прост, но может требовать больше шагов, тогда как метод Ньютона обычно быстрее, но требует вычисления производной.