Чтобы решить уравнение x^3 + 6x^2 + 12x + 72 = 0, мы можем воспользоваться методом подбора корней и затем применить деление многочленов.

Шаг 1: Подбор корней.

Начнем с подбора простых целых чисел, чтобы найти хотя бы один корень. Попробуем подставить x = -6.

Подставим:

• (-6)^3 + 6(-6)^2 + 12(-6) + 72 = -216 + 216 - 72 + 72 = 0

Таким образом, x = -6 является корнем уравнения.

Шаг 2: Деление многочлена.

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем использовать его для деления многочлена x^3 + 6x^2 + 12x + 72 на (x + 6).

Для этого используем деление многочленов:

1. Делим первый член: x^3 / x = x^2.
2. Умножаем x^2 на (x + 6): x^3 + 6x^2.
3. Вычитаем: (x^3 + 6x^2 + 12x + 72) - (x^3 + 6x^2) = 12x + 72.
4. Делим первый член: 12x / x = 12.
5. Умножаем 12 на (x + 6): 12x + 72.
6. Вычитаем: (12x + 72) - (12x + 72) = 0.

Таким образом, мы получили результат деления:

x^3 + 6x^2 + 12x + 72 = (x + 6)(x^2 + 12).

Шаг 3: Решение оставшегося уравнения.

Теперь нам нужно решить уравнение x^2 + 12 = 0.

Переносим 12 в правую часть:

x^2 = -12

Теперь извлекаем корень:

x = ±√(-12) = ±√(12) * i = ±2√3 * i, где i - мнимая единица.

Итак, у нас есть три корня уравнения:

• x = -6 (реальный корень),
• x = 2√3 * i (мнимый корень),
• x = -2√3 * i (мнимый корень).

Таким образом, окончательные корни уравнения x^3 + 6x^2 + 12x + 72 = 0:

• -6
• 2√3 * i
• -2√3 * i