Для решения уравнения X^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0, давайте следовать нескольким шагам:

Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения могут быть получены из делителей свободного члена (в данном случае 54) и делителей старшего коэффициента (в данном случае 1).

• Делители 54: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54
• Делители 1: ±1

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54.

Подставим некоторые из этих значений в уравнение, чтобы найти корни.

• Подставим x = 3:

X^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 3^3 - 6 * 3^2 - 9 * 3 + 54 = 27 - 54 - 27 + 54 = 0.

Таким образом, x = 3 является корнем уравнения.

Теперь, когда мы нашли один корень (x = 3),мы можем разделить исходный многочлен на (x - 3) с помощью деления многочленов или synthetic division.

При делении X^3 - 6x^2 - 9x + 54 на (x - 3),мы получаем:

• Результат деления: X^2 - 3X - 18.

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение X^2 - 3X - 18 = 0. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

X = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -18.

Теперь подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81.
• Корни: X = (3 ± √81) / 2 = (3 ± 9) / 2.

Таким образом, мы получаем два корня:

• X1 = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6.
• X2 = (3 - 9) / 2 = -6 / 2 = -3.

Теперь мы можем записать все корни исходного уравнения:

• X1 = 3,
• X2 = 6,
• X3 = -3.

Таким образом, уравнение X^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0 имеет три корня: 3, 6 и -3.