Как решить уравнение 2cos^2x - sin4x = 1, объяснив каждый шаг решения?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения 2cos^2x sin4x шаги решения математика 11 класс тригонометрические уравнения объяснение решения Новый

Чтобы решить уравнение 2cos²x - sin4x = 1, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Сначала перенесем 1 на левую сторону уравнения:

2cos²x - sin4x - 1 = 0

Шаг 2: Используем формулу для sin4x

Теперь мы можем воспользоваться формулой для sin4x. Напомним, что sin4x = 2sin2xcos2x. Также мы можем выразить sin²x через cos²x, используя основное тригонометрическое тождество:

sin²x = 1 - cos²x.

Шаг 3: Преобразуем sin4x

Сначала найдем sin2x:

sin2x = 2sinxcosx.

Теперь подставим это в формулу для sin4x:

sin4x = 2(2sinxcosx)cos2x = 4sinxcosxcos2x.

Однако, чтобы упростить уравнение, давайте использовать другую формулу:

sin4x = 2sin²2x - 1.

Также, sin²2x можно выразить как 1 - cos²2x.

Шаг 4: Подставляем sin4x в уравнение

Теперь подставим sin4x в уравнение:

2cos²x - (2sin²2x - 1) = 0.

Это можно переписать как:

2cos²x + 1 - 2sin²2x = 0.

Шаг 5: Упрощаем уравнение

Теперь давайте упростим уравнение. Заменим sin²2x на 1 - cos²2x:

2cos²x + 1 - 2(1 - cos²2x) = 0.

Раскроем скобки:

2cos²x + 1 - 2 + 2cos²2x = 0.

Это упрощается до:

2cos²x + 2cos²2x - 1 = 0.

Шаг 6: Найдем cos²2x

Теперь нам нужно выразить cos²2x через cos²x. Используем формулу:

cos²2x = 2cos²²x - 1.

Подставляем это в уравнение:

2cos²x + 2(2cos²²x - 1) - 1 = 0.

Раскроем скобки:

2cos²x + 4cos²²x - 2 - 1 = 0.

Это упрощается до:

4cos²²x + 2cos²x - 3 = 0.

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos²x. Обозначим y = cos²x:

4y² + 2y - 3 = 0.

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 2² - 4*4*(-3) = 4 + 48 = 52.

Корни уравнения:

y = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± √52) / 8.

Упрощаем корень:

√52 = 2√13, следовательно:

y = (-2 ± 2√13) / 8 = (-1 ± √13) / 4.

Шаг 8: Находим значения cos²x

Теперь подставим значения y обратно:

• y1 = (-1 + √13) / 4,
• y2 = (-1 - √13) / 4.

Поскольку cos²x не может быть отрицательным, мы принимаем только y1. Теперь находим cos²x:

cos²x = (-1 + √13) / 4.

Шаг 9: Находим cosx

Теперь извлекаем корень:

cosx = ±√((-1 + √13) / 4).

Шаг 10: Находим x

Теперь мы можем найти x, используя арккосинус:

x = arccos(±√((-1 + √13) / 4)) + 2πk, где k - любое целое число.

Не забываем учитывать периодичность функции косинуса, поэтому добавляем 2πk.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения 2cos²x - sin4x = 1.