Как решить уравнение 2cos^3x-2cosx+sin^2x=0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения уравнение 2cos^3x cos и sin тригонометрические функции математические уравнения Новый

Привет, друг! Давай вместе разберемся с этим уравнением! Это будет увлекательно и познавательно!

У нас есть уравнение:

2cos^3(x) - 2cos(x) + sin^2(x) = 0

Сначала заметим, что sin^2(x) можно выразить через cos(x) с помощью основной тригонометрической тождества:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это в уравнение:

2cos^3(x) - 2cos(x) + (1 - cos^2(x)) = 0

Теперь упростим это уравнение:

• 2cos^3(x) - 2cos(x) + 1 - cos^2(x) = 0
• 2cos^3(x) - cos^2(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Теперь давай обозначим y = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

2y^3 - y^2 - 2y + 1 = 0

Это кубическое уравнение, и его можно решить различными способами! Давай попробуем найти корни с помощью подбора или теоремы Виета!

Проверим, например, y = 1:

• 2(1)^3 - (1)^2 - 2(1) + 1 = 2 - 1 - 2 + 1 = 0

Ура! y = 1 — это корень!

Теперь мы можем разделить наше уравнение на (y - 1):

2y^3 - y^2 - 2y + 1 = (y - 1)(2y^2 + y - 1)

Теперь решим квадратное уравнение 2y^2 + y - 1 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь находим корни:

• y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = ( -1 + 3) / 4 = 0.5
• y2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = ( -1 - 3) / 4 = -1

Итак, у нас есть три значения для y:

• y1 = 1
• y2 = 0.5
• y3 = -1

Теперь вернемся к cos(x):

• cos(x) = 1 => x = 2kπ, k ∈ Z
• cos(x) = 0.5 => x = π/3 + 2kπ или x = 5π/3 + 2kπ, k ∈ Z
• cos(x) = -1 => x = π + 2kπ, k ∈ Z

Вот и все! Мы нашли все решения нашего уравнения! Надеюсь, тебе было интересно и весело решать его вместе со мной! Удачи в учебе!